Kuratowski-Mrówkaの定理(射影の閉性によるコンパクト性の特徴づけ)

$f_{!}(U)=\{y|f^{-1}(\{y\})\subset U\}$と置く。
$f_{!}(U)=Y\setminus f(X\setminus U)$より、$f$が閉写像であることと「$U$が開$\implies f_{!}(U)$が開」は同値である。
$\Leftarrow)$ $W\subset X\times Y$が開、$p\in \pr_{!}(W)$とし、$U\times Y\subset W$を満たす$p$の開近傍$U$が存在することを示す。積位相の定義より、任意の$x\in X$に対し$p$の開近傍$U_x$、および$x$の開近傍$V_x$が存在し、$U_x\times V_x\subset W$となる。コンパクト性より$(V_{x})_{x_\in \Lambda}$が$X$の開被覆になる有限集合$\Lambda$がとれる。$U=\cap_{x\in\Lambda} U_x$とおけばこれは条件を満たす。
$\Rightarrow)$ $(U_i)_{i\in I}$を$X$の任意の開被覆とする。$J\subset I$に対し$P(I)\supset [J]:=\{K|K\supset J\}$と定義し、$P(I)$に$\{[J]|J\text{は有限集合}\}$を開基とする位相を入れる。このとき、$U:=\cup_i U_i\times [\{i\}]\subset X\times P(I)$は開なので、$\pr_{!}(U)=\{J|\cup_{i\in J} U_i=X\}$も開。$I\in \pr_{!}(U)$より$\pr_{!}(U)$は非空なので、$P(I)$への位相の入れかたを思い出すと、$\pr_{!}(U)\supset [J]$となる有限集合$J$をとれる。この$J$に対し, $\cup_{i\in J} U_i=X $なので示された。