Kuratowski-Mrówkaの定理(射影の閉性によるコンパクト性の特徴づけ)

$f_{!}(U)=\{y|f^{-1}(\{y\})\subset U\}$と置く。
$f_{!}(U)=Y\setminus f(X\setminus U)$より、$f$が閉写像であることと「$U$が開$⟹f_{!}(U)$が開」は同値である。
$\Leftarrow )$ $W\subset X\times Y$が開、$p\in {\mathrm{p}\mathrm{r}}_{!}(W)$とし、$U\times Y\subset W$を満たす$p$の開近傍$U$が存在することを示す。積位相の定義より、任意の$x\in X$に対し$p$の開近傍$U_x$、および$x$の開近傍$V_x$が存在し、$U_x\times V_x\subset W$となる。コンパクト性より$(V_x{)}_{x_{\in }\mathrm{\Lambda }}$が$X$の開被覆になる有限集合$\mathrm{\Lambda }$がとれる。$U={\cap }_{x\in \mathrm{\Lambda }}{U}_x$とおけばこれは条件を満たす。
$\Rightarrow )$ $(U_i{)}_{i\in I}$を$X$の任意の開被覆とする。$J\subset I$に対し$P(I)\supset [J]:=\{K|K\supset J\}$と定義し、$P(I)$に$\{[J]|J\text{は有限集合}\}$を開基とする位相を入れる。このとき、$U:={\cup }_i{U}_i\times [\{i\}]\subset X\times P(I)$は開なので、${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{!}(U)=\{J|{\cup }_{i\in J}{U}_i=X\}$も開。$I\in {\mathrm{p}\mathrm{r}}_{!}(U)$より${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{!}(U)$は非空なので、$P(I)$への位相の入れかたを思い出すと、${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{!}(U)\supset [J]$となる有限集合$J$をとれる。この$J$に対し, ${\cup }_{i\in J}{U}_i=X$なので示された。