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いもけんぴぃ

大学数学基礎解説

線形代数-1-5 〜正則行列〜

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どうも、いもけんぴぃです。

今回はとても短いです！

目次

問13
問14
次回予告

問13

1つの行(または列)の成分がすべて0である正方行列は正則でないことを示せ.

<解説>
1つの行(または列)の成分がすべて0である正方行列を $A$ と置きます.
ここで, $A$ が正則であるということは, $A X = I \land X A = I$ となるような $X$ が存在することですので,これを否定できればよいことになります.

ところで, $A$ の第 $i$ 行(または列)がすべて0のとき $A X$ (または $X A$ )の(i,i)成分は常に0になります.よって $A X = I \land X A = I$ となるような $X$ は存在しないため,題意が示せました.

問14

$r$ 個の正則行列 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{r}$ に対して,次を示せ.
$(A_{1} A_{2} \dots A_{r})^{- 1} = A_{r}^{- 1} \dots A_{2}^{- 1} A_{1}^{- 1}$

<解説>
$A_{r}^{- 1} \dots A_{2}^{- 1} A_{1}^{- 1}$ と $A_{1} A_{2} \dots A_{r}$ の積を計算すると,

$(A_{r}^{- 1} \dots A_{2}^{- 1} A_{1}^{- 1}) (A_{1} A_{2} \dots A_{r})$

$=$ $A_{r}^{- 1} \dots A_{2}^{- 1} (A_{1}^{- 1} A_{1}) A_{2} \dots A_{r}$

$=$ $A_{r}^{- 1} \dots A_{2}^{- 1} I A_{2} \dots A_{r}$

$=$ $A_{r}^{- 1} \dots I \dots A_{r}$

$= I$

となり,与式が示せました.

次回予告

次回は第6節の問15,問16の2本立てでお送りします。
次回もまた見てくださいね！
じゃ〜んけ〜ん
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ぐー！

投稿日：2022年5月15日

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