線形代数-1-5 〜正則行列〜

どうも、いもけんぴぃです。

今回はとても短いです！

目次

• 問13
• 問14
• 次回予告

問13

<解説>
1つの行(または列)の成分がすべて0である正方行列を$A$と置きます.
ここで,$A$が正則であるということは,$AX=I \land XA=I$となるような$X$が存在することですので,これを否定できればよいことになります.

ところで,$A$の第$i$行(または列)がすべて0のとき$AX$(または$XA$)の(i,i)成分は常に0になります.よって$AX=I \land XA=I$となるような$X$は存在しないため,題意が示せました.

問14

<解説>
$A_{r}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}$と$A_{1}A_{2}\cdots A_{r}$の積を計算すると,

$(A_{r}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1})(A_{1}A_{2}\cdots A_{r})$

$=$$A_{r}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}(A_{1}^{-1}A_{1})A_{2}\cdots A_{r}$

$=$$A_{r}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}IA_{2}\cdots A_{r}$

$=$$A_{r}^{-1}\cdots I\cdots A_{r}$

$=I$

となり,与式が示せました.

次回予告

次回は第6節の問15,問16の2本立てでお送りします。
次回もまた見てくださいね！
じゃ〜んけ〜ん
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ぐー！