文献あり

トポスに関する備忘録１

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これはトポスに関する備忘録である.

$X \to P X$ がモノであることについて

一般に, 射 $A \to B$ があるとグラフ $A \to A \times B$ を作ることができる. これはモノ射なので, トポスにおいてはこれはある $A \times B \to Ω$ によって分類され, 随伴によって $A \to P B$ が得られる. これを $A \to B$ の持ち上げと呼ぶことにする.
このとき次が成り立つ.

トポス $C$ において以下が成り立つ.

$A \to B$ と $B \to C$ を射とするとき, $A \to B$ と持ち上げ $B \to P C$ の合成は, 合成 $A \to C$ の持ち上げに等しい.
$A \to B$ に対して持ち上げ $A \to P B$ を割り当てる写像 $H o m (A, B) \to H o m (A, P B)$ は単射である.

(1)の証明には次の補題を用いるとよい.

$f : A \to B$ , $g : B \to C$ を射とする. $g$ のグラフ $B \to B \times C$ の $f \times i d : A \times C \to B \times C$ による引き戻しは $g \circ f$ のグラフ $A \to A \times C$ である.

補題2の証明

$A \times C = (A \times_{B} B) \times (1 \times_{1} C) = (A \times 1) \times_{B \times 1} (B \times C) = A \times_{B} (B \times C)$
なので
$B \times_{A \times B} (A \times C) = B \times_{B \times C} (B \times C) \times_{B} A = B \times_{B} A = A$
である. (図式を書いて確かめよ)

命題1の証明

$1 \to Ω$ の $A \times C \to B \times C \to Ω$ による引き戻しは, $B \to B \times C$ の $A \times C \to B \times C$ による引き戻しである. よってグラフ $A \to A \times C$ である. よって $A \times C \to B \times C \to Ω$ は $A \to A \times C$ を分類しており, $A \to B \to P C$ が $A \to C$ の持ち上げであることがわかった.
$A \to B$ の持ち上げ $A \to P B$ があれば, 随伴で対応する射 $A \times B \to Ω$ によって分類される射 $A \to A \times B$ と射影を合成することで $A \to B$ を復元できる.

命題 1

$i d : B \to B$ の持ち上げ $B \to P B$ はモノである.

命題1(1)より, $A \to B$ の持ち上げは $A \to B$ と $B \to P B$ の合成に等しいことがわかる. したがって命題1(2)は $B \to P B$ がモノであることを表していることになる.

有限完備な圏において, $A^{X}$ , $B^{X}$ , $C^{X}$ がそれぞれ存在するならば $(A \times_{B} C)^{X}$ も存在し, それは $A^{X} \times_{B^{X}} C^{X}$ である.

右随伴が極限と交換することの証明をなぞるとわかる.

命題 3

トポスはカルテシアン閉である.

$B \to P B$ はモノ射なので, ある $P B \to Ω$ が存在して $B = P B \times_{Ω} 1$ とできる. しかし $(P B)^{X} = P (B \times X)$ , $Ω^{X} = P X$ , $1^{X} = 1$ はそれぞれ存在するので, それらのpullbackが $B^{X}$ となる. したがって任意の $B$ , $X$ について $B^{X}$ が存在するのでカルテシアン閉である.