大学数学基礎解説

n次元超球の方程式とその証明

高次元,超球

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$n$ 次元超球の方程式とその証明

次元

空間における座標軸の数を次元という.
また座標軸が $n$ 本の空間を $n$ 次元という.

n次元超球

$1$ 点から等距離にある点の集合について
$n$ 次元のものを $n$ 次元超球という.
特に $2$ 次元のときは円, $3$ 次元のときは球
$4$ 次元のときは単に超球という.

n次元超球の方程式

$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 軸をもつ
$n$ 次元座標空間における
半径 $r$ ,中心 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ の
$n$ 次元超球の方程式は
$\sum_{k = 1}^{n} (x_{k} - a_{k})^{2} = r^{2}$ である.

$n$ 次元,超球の定義と
$n$ 次元超球の方程式を書きました.
これについて超球の方程式が
なぜこのようになるのかを証明します.
その前に $1$ つだけ補題があるので
そちらから先に証明します.

$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 軸をもつ
$n$ 次元空間において
座標 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ と $(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ の
ベクトルの成分は
$\sqrt{\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} - b_{k})^{2}}$ である.

補題

$n = 2$ の場合 $x_{1}, x_{2}$ 方向に
それぞれ $| a_{1} - b_{1} |, | a_{2} - b_{2} |$ の
移動量をもつため,三平方の定理より成分は
$\sqrt{(a_{1} - b_{1})^{2} + (a_{2} - b_{2})^{2}}$ で成立する

$n ≧ 3$ の場合, $n$ 次元のときの成分が
$\sqrt{\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} - b_{k})^{2}}$ であるものとして
$n + 1$ 次元のときの成分は
$\sqrt{(a_{n + 1} - b_{n + 1})^{2} + \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} - b_{k})^{2}} = \sqrt{\sum_{k = 1}^{n + 1} (a_{k} - b_{k})^{2}}$