線形代数-2-2 〜基本行列〜

どうも、いもけんぴぃです。

今回から第2章に入ります！

$(1)$$P_{3} \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{3} \end{array} \right) \end{eqnarray}$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$ $ $ $ $$(2)$$P_{21} \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} -2 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$ $ $ $ $ $(3)$$P_{13}\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

<解説>
この問題では行列の積を計算する解法と,定義通り計算する解法の2つを解説しようと思います。

解法1-基本行列の積で計算する-

$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{3} \end{array} \right) \end{eqnarray}$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$(2)$$P_{21} \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} -2 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ -2\times1 + 1\times2 & -2\times2 + 1\times5 & -2\times3 + 1\times8 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$(3)$$P_{13}\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 4 & 9 & 2 \\ 3 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 6 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$
$ $

解法２-基本行列の意味通り計算する-

$(1)$$P_{3} \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{3} \end{array} \right) \end{eqnarray}$$A$は$A$の第3行を$\dfrac{1}{3}$倍した行列ですので,

$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$の第3行を$\dfrac{1}{3}$倍して,$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$(2)$$P_{21} (-2)$$A$は$A$の第2行に第1列の$-2$倍を加えた行列ですので,

$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$の第2行に第1行の$-2$倍を加えて,$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$(3)$$P_{13}$$A$は$A$の第1行と第3行を入れ替えた行列ですので,

$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$の第1行と第3行を入れ替えて,$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 4 & 9 & 2 \\ 3 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 6 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

解法2のほうがスムーズで楽ですね.

問2

次を示せ.

$(1)$$P_{ij}=P_{ij}(-1)P_{ji}(1)P_{j}(-1)P_{ij}(1)$

$(2)$$P_{i}(c)P_{j}(d)=P_{j}(d)P_{i}(c)$

$(3)$$P_{ij}(c)P_{kj}(d)=P_{kj}(d)P_{ij}(c)$

$(4)$$P_{ij}(c)P_{ik}(d)=P_{ik}(d)P_{ij}(c)$

<解説>
今回は両辺に$A$を右から掛けて成分を比較して考えてみます.

ただし$A$は$A= \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{m} \end{array} \right) \end{eqnarray}$,$a_{i}= \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$の$m\times n$行列とします.

また,全部書くと見にくくなってしまうので,第$i$行と第$j$行だけ抜き出して書きます.

$(1)$$P_{ij}A=P_{ij}(-1)P_{ji}(1)P_{j}(-1)P_{ij}(1)A$

$(i)$ 左辺について
定義より,第$i$行と第$j$行を入れ替える操作をします.よって,

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} \\ j:a_{j} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{j} \\ j:a_{i} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$
$ $
$(ii)$右辺について
計算順序が
$P_{ij}(-1)P_{ji}(1)P_{j}(-1)P_{ij}(1)A$$=$$P_{ij}(-1) \lbrace P_{ji}(1)\lbrace P_{j}(-1) \lbrace P_{ij}(1)A \rbrace \rbrace \rbrace $
となっていることに注意しましょう.

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} \\ j:a_{j} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $ $(第$i$行に第$j$行の$1$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} + a_{j} \\ j:a_{j} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $ $(第$j$行を$-1$倍する)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} + a_{j} \\ j:-a_{j} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $ $(第$j$行に第$i$行の$1$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} + a_{j} \\ j:a_{i} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $ $(第$i$行に第$j$行の$-1$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{j} \\ j:a_{i} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

となり、左辺と右辺の操作が同じであることを示せました.
以降の問題についても同様にして,

$(2)$$P_{i}(c)P_{j}(d)A=P_{j}(d)P_{i}(c)A$

$(i)$ 左辺について
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} \\ j:a_{j} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $ $(第$j$行を$d$倍する)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} \\ j:da_{j} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$(第$i$行を$c$倍する)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:ca_{i} \\ j:da_{j} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$(ii)$ 右辺について

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} \\ j:a_{j} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $ $(第$i$行を$c$倍する)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:ca_{i} \\ j:a_{j} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$(第$j$行を$d$倍する)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:ca_{i} \\ j:da_{j} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$(3)$$P_{ij}(c)P_{kj}(d)A=P_{kj}(d)P_{ij}(c)A$

$(i)$左辺について

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} \\ j:a_{j} \\ k:a_{k} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $ $(第$k$行に第$j$行の$d$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} \\ j:a_{j} \\ k:da_{j} + a_{k} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$(第$i$行に第$j$行の$c$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} + ca_{j} \\ j:a_{j} \\ k:da_{j} + a_{k} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$(ii)$ 右辺について
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} \\ j:a_{j} \\ k:a_{k} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $ $(第$i$行に第$j$行の$c$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} + ca_{j} \\ j:a_{j} \\ k:a_{k} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$(第$k$行に第$j$行の$d$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} + ca_{j} \\ j:a_{j} \\ k:da_{j} + a_{k} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$(4)$$P_{ij}(c)P_{ik}(d)A=P_{ik}(d)P_{ij}(c)A$

$(i)$ 左辺について
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} \\ j:a_{j} \\ k:a_{k} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $ $(第$i$行に第$k$行の$d$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} + da_{k} \\ j:a_{j} \\ k:a_{k} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$(第$i$行に第$j$行の$c$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} + ca_{j} + da_{k} \\ j:a_{j} \\ k:a_{k} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$(ii)$ 右辺について
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} \\ j:a_{j} \\ k:a_{k} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ $ $(第$i$行に第$j$行の$c$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} + ca_{j} \\ j:a_{j} \\ k:a_{k} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$(第$i$行に第$k$行の$d$倍を加える)

$→\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} i:a_{i} + ca_{j} + da_{k} \\ j:a_{j} \\ k:a_{k} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

以上ですべて示せました.