線形代数-2-2 〜基本行列〜

どうも、いもけんぴぃです。

今回から第2章に入ります！

目次

• 問1
• 問2
• 次回予告

問1

<解説>
この問題では行列の積を計算する解法と,定義通り計算する解法の2つを解説しようと思います。

• 解法1-基本行列の積で計算する-

$(1)$$P_3\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\end{array}$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right)\end{array}$

$=$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\end{array}$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right)\end{array}$

$=$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\end{array}$

$(2)$$P_{21}\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}-2\end{array}\right)\end{array}$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\end{array}$

$=$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\end{array}$

$=$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -2\times 1+1\times 2& -2\times 2+1\times 5& -2\times 3+1\times 8\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\end{array}$

$=$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\end{array}$

$(3)$$P_{13}\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}8& 1& 6\\ 3& 5& 7\\ 4& 9& 2\end{array}\right)\end{array}$

$=$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}8& 1& 6\\ 3& 5& 7\\ 4& 9& 2\end{array}\right)\end{array}$

$=$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}4& 9& 2\\ 3& 5& 7\\ 8& 1& 6\end{array}\right)\end{array}$
$$

• 解法２-基本行列の意味通り計算する-

$(1)$$P_3\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\end{array}$$A$は$A$の第3行を${\displaystyle \frac{1}{3}}$倍した行列ですので,

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right)\end{array}$の第3行を${\displaystyle \frac{1}{3}}$倍して,$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\end{array}$

$(2)$$P_{21}(-2)$$A$は$A$の第2行に第1列の$-2$倍を加えた行列ですので,

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\end{array}$の第2行に第1行の$-2$倍を加えて,$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\end{array}$

$(3)$$P_{13}$$A$は$A$の第1行と第3行を入れ替えた行列ですので,

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}8& 1& 6\\ 3& 5& 7\\ 4& 9& 2\end{array}\right)\end{array}$の第1行と第3行を入れ替えて,$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}4& 9& 2\\ 3& 5& 7\\ 8& 1& 6\end{array}\right)\end{array}$

解法2のほうがスムーズで楽ですね.

問2

<解説>
今回は両辺に$A$を右から掛けて成分を比較して考えてみます.

ただし$A$は$A=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right)\end{array}$,$a_i=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cccc}{a}_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\end{array}\right)\end{array}$の$m\times n$行列とします.

また,全部書くと見にくくなってしまうので,第$i$行と第$j$行だけ抜き出して書きます.

$(1)$$P_{ij}A=P_{ij}(-1)P_{ji}(1)P_j(-1)P_{ij}(1)A$

$(i)$ 左辺について
定義より,第$i$行と第$j$行を入れ替える操作をします.よって,

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i\\ j:a_j\end{array}\end{array}$$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_j\\ j:a_i\end{array}\end{array}$
$$
$(ii)$右辺について
計算順序が
$P_{ij}(-1)P_{ji}(1)P_j(-1)P_{ij}(1)A$$=$$P_{ij}(-1)\{P_{ji}(1)\{P_j(-1)\{P_{ij}(1)A\}\}\}$
となっていることに注意しましょう.

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i\\ j:a_j\end{array}\end{array}$ $$(第$i$行に第$j$行の$1$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i+a_j\\ j:a_j\end{array}\end{array}$ $$(第$j$行を$-1$倍する)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i+a_j\\ j:-a_j\end{array}\end{array}$ $$(第$j$行に第$i$行の$1$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i+a_j\\ j:a_i\end{array}\end{array}$ $$(第$i$行に第$j$行の$-1$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_j\\ j:a_i\end{array}\end{array}$

となり、左辺と右辺の操作が同じであることを示せました.
以降の問題についても同様にして,

$(2)$$P_i(c)P_j(d)A=P_j(d)P_i(c)A$

$(i)$ 左辺について
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i\\ j:a_j\end{array}\end{array}$ $$(第$j$行を$d$倍する)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i\\ j:d{a}_j\end{array}\end{array}$(第$i$行を$c$倍する)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:c{a}_i\\ j:d{a}_j\end{array}\end{array}$

$(ii)$ 右辺について

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i\\ j:a_j\end{array}\end{array}$ $$(第$i$行を$c$倍する)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:c{a}_i\\ j:a_j\end{array}\end{array}$(第$j$行を$d$倍する)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:c{a}_i\\ j:d{a}_j\end{array}\end{array}$

$(3)$$P_{ij}(c)P_{kj}(d)A=P_{kj}(d)P_{ij}(c)A$

$(i)$左辺について

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i\\ j:a_j\\ k:a_k\end{array}\end{array}$ $$(第$k$行に第$j$行の$d$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i\\ j:a_j\\ k:d{a}_j+a_k\end{array}\end{array}$(第$i$行に第$j$行の$c$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i+c{a}_j\\ j:a_j\\ k:d{a}_j+a_k\end{array}\end{array}$

$(ii)$ 右辺について
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i\\ j:a_j\\ k:a_k\end{array}\end{array}$ $$(第$i$行に第$j$行の$c$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i+c{a}_j\\ j:a_j\\ k:a_k\end{array}\end{array}$(第$k$行に第$j$行の$d$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i+c{a}_j\\ j:a_j\\ k:d{a}_j+a_k\end{array}\end{array}$

$(4)$$P_{ij}(c)P_{ik}(d)A=P_{ik}(d)P_{ij}(c)A$

$(i)$ 左辺について
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i\\ j:a_j\\ k:a_k\end{array}\end{array}$ $$(第$i$行に第$k$行の$d$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i+d{a}_k\\ j:a_j\\ k:a_k\end{array}\end{array}$(第$i$行に第$j$行の$c$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i+c{a}_j+d{a}_k\\ j:a_j\\ k:a_k\end{array}\end{array}$

$(ii)$ 右辺について
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i\\ j:a_j\\ k:a_k\end{array}\end{array}$ $$(第$i$行に第$j$行の$c$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i+c{a}_j\\ j:a_j\\ k:a_k\end{array}\end{array}$(第$i$行に第$k$行の$d$倍を加える)

$\to \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}i:a_i+c{a}_j+d{a}_k\\ j:a_j\\ k:a_k\end{array}\end{array}$

以上ですべて示せました.

次回予告

今回の問2は教科書に解答が載っていないので、あっているかどうかとても不安です...示し方等間違ってたらごめんなさい！
次回は第3節の問3,問4,問5,問6の4本立てでお送りします。
次回もまた見てくださいね！
じゃ〜んけ〜ん
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ぐー！