[問題] 団子ゲーム
この問題は筆者は未解決です。特に解けることは保証されていません。ご注意ください。
この記事において、自然数$\mathbb{N}$は$0$を含みます。
空でない$S \subset \mathbb{N} $において、$S$-団子ゲームを以下のように定義します。
私は初期状態で秘密裏に$s \in S $個の団子を持っています。
あなたの目標は、私がその時点で持っている団子の数を当てることです。
まずはあなたの手番から始まり、あなたはこれまでに宣言していない自然数を1つ選び宣言します。
それが現時点で持っている団子の数と等しければ、あなたが勝利してゲームが終了します。
そうでない場合、私は団子を1つ食べます。
団子が0個で食べられなかった場合、私が勝利してゲームが終了します。
よって、最初のターンを0とすると、$i$ターン目に正解になる宣言は$s-i$です。
あなたに$S$-団子ゲームの必勝法が存在する$S$を決定してください。
$S = \{ 0, 1\}$の場合、最初のターンは$0$と答えるしかありません。
次のターンの正解は$0(s=1)$ですが、あなたは既に宣言した$0$を宣言することはできず、必勝法は存在しません。
$S = \{ 1,2,3\}$の場合、$2 \rightarrow 0 \rightarrow 1$ あるいは $1 \rightarrow 2 \rightarrow 0$ と答えることで必ず勝利できます。
$S = \{ 2n | n \in \mathbb{N} \}$の場合、$ 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow \dots $と答えることで必ず勝利できます。
最初に選んだ$s$は有限なので、いつかは(最大でも$s+1$回)ゲームが終了することに注意してください。
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