線形代数-1-基礎問題-1

どうも、いもけんぴぃです。

このシリーズでは教科書の章末問題の解説をしていこうと思います。
なお、筆者が解けない場合もあることをご留意ください。

$(4)$ $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$ $A$ $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}$ $=$ $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}) \end{array}$ を満たす行列 $A$ を求めよ.

<解説>
積が定義できるのは $A$ が $3 \times 3$ 行列のときだけなのがすぐ分かると思います.

そこで, $A$ $=$ $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) \end{array}$ とおいて左辺を計算して両辺の成分同士を比べます.

(左辺) $=$ $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$ $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) \end{array}$ $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}$

$=$ $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$ $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} a_{12} & a_{11} & a_{13} \\ a_{22} & a_{21} & a_{23} \\ a_{32} & a_{31} & a_{33} \end{array}) \end{array}$

$=$ $\begin{array}{r} (\begin{array}{cc} a_{32} & a_{31} & a_{33} \\ 2 a_{22} & 2 a_{21} & 2 a_{23} \\ 3 a_{12} & 3 a_{11} & 3 a_{13} \end{array}) \end{array}$