対称群の計算練習をしよう その1
どうも
こんにちは ごててんです 最近あつすぎます
みなさん, $S_n$の計算してますか？ 対称群の計算力を磨いて直感を育んでいきましょう！！！！！（何）
どういう層に向けた記事？
群論を学び始めた人向けの記事です. 群の定義など群論側の解説はしません.
また十分に習熟している人向けの記事ではありません！！！
この記事で使う記号を定義
$S_n$を, $X_n=\{1,2, \cdots,n\}$としたときの全単射$X_n \rightarrow X_n$の全体とし, $\sigma , \tau \in S_n$に対してその積$\sigma\tau$を, 写像の合成$\sigma \circ \tau$で定める. （この演算で$S_n$は群となる.）
たとえば$\sigma= \begin{pmatrix} \color{magenta}1 & \color{blue}2 & \color{red}3 \\ \color{magenta}2 & \color{blue}1 & \color{red}3 \end{pmatrix} $と書けば, これは$\sigma(\textcolor{magenta}{1} )=\textcolor{magenta}{2},$$\sigma(\textcolor{blue}{2})=\textcolor{blue}{1},$$\sigma(\textcolor{red}{3})=\textcolor{red}{3}$となる写像を意味します. わかりやすくていい記号ですね！！！！！！！
さっそく例題
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $を計算し, 1つの置換として表せ.
計算のコツは, 1つずつ追うことです.
対称群の積の計算は, 私は写像の合成と同じく右側から考えたい派なのでこの記事ではそう定義しましたが, いつもその定義が採用されているわけではないので積の順番には注意してください.
まず$1$から考えます.
$\begin{pmatrix} \color{magenta}1 & 2 & 3 \\ \color{magenta}3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $を見ると$1$は$3$に移るとわかります.
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \color{magenta}3 \\ 2 & 3 & \color{magenta}1 \end{pmatrix} $を見ると$3$は$1$に移るとわかります.
よって, $1 \mapsto 1$ です！
$ \begin{pmatrix} \color{magenta}1 & & \\ \color{magenta}1 & & \end{pmatrix} $ ←ここまでわかりました.
次に$2$を考えます. 別に$3$を考えてもいいですが.
$\begin{pmatrix} 1 & \color{blue}2 & 3 \\ 3 & \color{blue}2 & 1 \end{pmatrix} $を見ると$2$は$2$に移るとわかります.
$ \begin{pmatrix} 1 & \color{blue}2 & 3 \\ 2 & \color{blue}3 & 1 \end{pmatrix} $を見ると$2$は$3$に移るとわかります.
よって, $2 \mapsto 3$ です！
$ \begin{pmatrix} \color{magenta}1 & \color{blue}2 & \\ \color{magenta}1 & \color{blue}3 & \end{pmatrix} $ ←ここまでわかりました.
計算ミスがないという自信があれば残りは計算せず埋めてしまいましょう
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} $
よって計算終了です. このプロセスを脳内でやると速く計算ができて楽しいです！
解いてみよう
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $を計算し, 1つの置換として表せ.
$ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $を計算し, 1つの置換として表せ.
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $を計算し, 1つの置換として表せ.
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} $を計算し, 1つの置換として表せ.
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 & n \\ 2 & 3 & \cdots & n-1 & n & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 & \cdots & n-1 & n & 1 \\ 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 & n \end{pmatrix} $を計算し, 1つの置換として表せ. ($n>4$とする.)
解答例
問題1 ...
1 → 2 → 3
2 → 3 → 1
3 → 1 → 2
よって$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $.
問題2 ...
1 → 1 → 2
2 → 3 → 1
3 → 2 → 3
よって$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} $.
問題3 ...
1 → 2 → 2 → 1
2 → 3 → 1 → 2
3 → 1 → 3 → 3
よって$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $.
問題4 ...
1 → 2 → 4
2 → 1 → 3
3 → 4 → 1
4 → 3 → 2
よって$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $.
問題5 ...
1以外の数kを考えると
k → k-1 → k
また1は
1 → n → 1
よって$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \end{pmatrix} $.
おつかれさまでした
お疲れ様でした. とりあえずこれが計算できると1日くらいは困りません. その2が書かれるかわかりませんが, また計算練習の記事を書きたいです. それではまた