MZVの和公式から得られる超幾何級数的な等式

ここでは以下の式を, 多重ゼータ値の観点から証明していきます.
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt n}\frac{n!}{n^2(x)_n}=\sum_{0\leq n}\frac{1}{(n+x)^2} \end{eqnarray}$$まず, $x\to 1-x$として,
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt n}\frac{n!}{n^2(1-x)_n}=\sum_{0\lt n}\frac{1}{(n-x)^2} \end{eqnarray}$$これを$x$について級数展開することを考えていきます.
$$\begin{eqnarray} \frac{n!}{(1-x)_n}&=&\frac{n!}{(1-x)(2-x)\cdots(n-x)}\\ &=&\frac{1}{(1-x)\kak{1-\frac x2}\cdots\kak{1-\frac xn}}\\ &=&\sum_{0\leq i_1,i_2,\dots,i_n}x^{i_1+i_2+\dots+i_n}\prod_{j=1}^n\frac 1{j^{i_j}}\\ &=&\sum_{0\leq h}x^h\sum_{0\leq i_a,~i_1+\dots+i_n=h}\underbrace{\frac {1}{1}\cdots\frac{1}1}_{i_1}\cdot\underbrace{\frac {1}{2}\cdots\frac{1}2}_{i_2}\cdots\underbrace{\frac {1}{n}\cdots\frac{1}n}_{i_n}\\ &=&\sum_{0\leq h}x^h\sum_{0\lt j_1\leq j_2\leq \cdots\leq j_h\leq n}\frac 1{j_1\cdots j_h} \end{eqnarray}$$最後の変形は少しテクニカルかもしれないですね.この右辺の和は, MZSVを有限項までにした和,
$$\begin{eqnarray} \zeta^*_n(k_1,\dots,k_a):=\sum_{0\lt n_1\leq n_2\leq\cdots\leq n_a\leq n}\frac{1}{n_1^{k_1}n_2^{k_2}\cdots n_a^{k_a}} \end{eqnarray}$$
をもちいて,
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\leq h}x^h\sum_{0\lt j_1\leq j_2\leq \cdots\leq j_h\leq n}\frac 1{j_1\cdots j_h}=\sum_{0\leq h}x^h\zeta_n^*(\{1\}^h) \end{eqnarray}$$と表されます. よって,
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt n}\frac{n!}{n^2(1-x)_n}&=&\sum_{0\lt n}\frac{1}{n^2}\sum_{0\leq h}x^h\zeta_n^*(\{1\}^h)\\ &=&\sum_{0\leq h}x^h\sum_{0\lt n}\frac{\zeta_n^*(\{1\}^h)}{n^2}\\ &=&\sum_{0\leq h}x^h\sum_{0\lt i_1\leq \cdots i_h\leq n}\frac{1}{i_1\cdots i_hn^2}\\ &=&\sum_{0\leq h}x^h\zeta^*(\{1\}^h,2) \end{eqnarray}$$となります. もう一方の方は,
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt n}\frac{1}{(n-x)^2}&=&\sum_{0\lt n}\frac 1{n^2}\sum_{0\leq h}(h+1)\kak{\frac{x}{n}}^{h}\\ &=&\sum_{0\leq h}(h+1)x^h\sum_{0\lt n}\frac 1{n^{h+2}}\\ &=&\sum_{0\leq h}(h+1)\zeta(h+2)x^h \end{eqnarray}$$よって, 示すべき式は, $h\geq 0$に対して,
$$\begin{eqnarray} \zeta^*(\{1\}^h,2)=(h+1)\zeta(h+2) \end{eqnarray}$$であることになります. この左辺について考えていきます. 多重ゼータ値で表すと, $h=0$のときは, $\zeta(2)$であり, $h=1$のときは, $\zeta(1,2)+\zeta(3)$となります. 順番に計算していくと,
$$\begin{eqnarray} \zeta^*(1,1,2)&=&\zeta(1,1,2)+\zeta(1,3)+\zeta(2,2)+\zeta(4)\\ \zeta^*(1,1,1,2)&=&\zeta(1,1,1,2)+\zeta(1,1,3)+\zeta(1,2,2)+\zeta(2,1,2)+\zeta(1,4)+\zeta(2,3)+\zeta(3,2)+\zeta(5) \end{eqnarray}$$これより, $\zeta^*(\{1\}^h,2)$はweightが$h+2$の全ての許容インデックスにわたるMZVの和であることが分かります. これをdepthごとに考えると, 和公式から, $\zeta(h+2)$が$h+1$個できることになります. よって,
$$\begin{eqnarray} \zeta^*(\{1\}^h,2)=(h+1)\zeta(h+2) \end{eqnarray}$$が成り立つことが示されました. さて, この等式,
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt n}\frac{n!}{n^2(x)_n}=\sum_{0\leq n}\frac{1}{(n+x)^2} \end{eqnarray}$$に$x=\frac 12$を代入してみると,
$$\begin{eqnarray} \sum_{0\lt n}\frac{2^{2n}}{n^2\binom{2n}n}=\frac{\pi^2}2 \end{eqnarray}$$が得られます. これは$\arcsin^2x$の級数になってますね.