MZVの和公式から得られる超幾何級数的な等式

ここでは以下の式を, 多重ゼータ値の観点から証明していきます.
$$\begin{array}{r}\sum _{0<n}\frac{n!}{n^2(x{)}_n}=\sum _{0\le n}\frac{1}{(n+x{)}^2}\end{array}$$まず, $x\to 1-x$として,
$$\begin{array}{r}\sum _{0<n}\frac{n!}{n^2(1-x{)}_n}=\sum _{0<n}\frac{1}{(n-x{)}^2}\end{array}$$これを$x$について級数展開することを考えていきます.
$$\begin{array}{rcl}\frac{n!}{(1-x{)}_n}& =& \frac{n!}{(1-x)(2-x)\cdots (n-x)}\\ & =& \frac{1}{(1-x)(1-\frac{x}{2})\cdots (1-\frac{x}{n})}\\ & =& \sum _{0\le i_1,i_2,\dots ,i_n}{x}^{i_1+i_2+\cdots +i_n}\prod _{j=1}^n\frac{1}{j^{i_j}}\\ & =& \sum _{0\le h}{x}^h\sum _{0\le i_a,i_1+\cdots +i_n=h}\underset{i_1}{\underbrace{\frac{1}{1}\cdots \frac{1}{1}}}\cdot \underset{i_2}{\underbrace{\frac{1}{2}\cdots \frac{1}{2}}}\cdots \underset{i_n}{\underbrace{\frac{1}{n}\cdots \frac{1}{n}}}\\ & =& \sum _{0\le h}{x}^h\sum _{0<j_1\le j_2\le \cdots \le j_h\le n}\frac{1}{j_1\cdots j_h}\end{array}$$最後の変形は少しテクニカルかもしれないですね.この右辺の和は, MZSVを有限項までにした和,
$$\begin{array}{r}{\zeta }_n^{\ast }(k_1,\dots ,k_a):=\sum _{0<n_1\le n_2\le \cdots \le n_a\le n}\frac{1}{n_1^{k_1}{n}_2^{k_2}\cdots n_a^{k_a}}\end{array}$$
をもちいて,
$$\begin{array}{r}\sum _{0\le h}{x}^h\sum _{0<j_1\le j_2\le \cdots \le j_h\le n}\frac{1}{j_1\cdots j_h}=\sum _{0\le h}{x}^h{\zeta }_n^{\ast }(\{1{\}}^h)\end{array}$$と表されます. よって,
$$\begin{array}{rcl}\sum _{0<n}\frac{n!}{n^2(1-x{)}_n}& =& \sum _{0<n}\frac{1}{n^2}\sum _{0\le h}{x}^h{\zeta }_n^{\ast }(\{1{\}}^h)\\ & =& \sum _{0\le h}{x}^h\sum _{0<n}\frac{{\zeta }_n^{\ast }(\{1{\}}^h)}{n^2}\\ & =& \sum _{0\le h}{x}^h\sum _{0<i_1\le \cdots i_h\le n}\frac{1}{i_1\cdots i_h{n}^2}\\ & =& \sum _{0\le h}{x}^h{\zeta }^{\ast }(\{1{\}}^h,2)\end{array}$$となります. もう一方の方は,
$$\begin{array}{rcl}\sum _{0<n}\frac{1}{(n-x{)}^2}& =& \sum _{0<n}\frac{1}{n^2}\sum _{0\le h}(h+1){\left(\frac{x}{n}\right)}^h\\ & =& \sum _{0\le h}(h+1)x^h\sum _{0<n}\frac{1}{n^{h+2}}\\ & =& \sum _{0\le h}(h+1)\zeta (h+2)x^h\end{array}$$よって, 示すべき式は, $h\ge 0$に対して,
$$\begin{array}{r}{\zeta }^{\ast }(\{1{\}}^h,2)=(h+1)\zeta (h+2)\end{array}$$であることになります. この左辺について考えていきます. 多重ゼータ値で表すと, $h=0$のときは, $\zeta (2)$であり, $h=1$のときは, $\zeta (1,2)+\zeta (3)$となります. 順番に計算していくと,
$$\begin{array}{rcl}{\zeta }^{\ast }(1,1,2)& =& \zeta (1,1,2)+\zeta (1,3)+\zeta (2,2)+\zeta (4)\\ {\zeta }^{\ast }(1,1,1,2)& =& \zeta (1,1,1,2)+\zeta (1,1,3)+\zeta (1,2,2)+\zeta (2,1,2)+\zeta (1,4)+\zeta (2,3)+\zeta (3,2)+\zeta (5)\end{array}$$これより, ${\zeta }^{\ast }(\{1{\}}^h,2)$はweightが$h+2$の全ての許容インデックスにわたるMZVの和であることが分かります. これをdepthごとに考えると, 和公式から, $\zeta (h+2)$が$h+1$個できることになります. よって,
$$\begin{array}{r}{\zeta }^{\ast }(\{1{\}}^h,2)=(h+1)\zeta (h+2)\end{array}$$が成り立つことが示されました. さて, この等式,
$$\begin{array}{r}\sum _{0<n}\frac{n!}{n^2(x{)}_n}=\sum _{0\le n}\frac{1}{(n+x{)}^2}\end{array}$$に$x=\frac{1}{2}$を代入してみると,
$$\begin{array}{r}\sum _{0<n}\frac{2^{2n}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}=\frac{{\pi }^2}{2}\end{array}$$が得られます. これは${\arcsin }^{2}x$の級数になってますね.