調和積・シャッフル積の話

はじめに

まずこの記事のゴールは、MZV同士の積をMZVの線形結合＝和で表すことです。MZVの定義・扱いについては こちら とかをご覧ください。MZVの積を和にする方法として、調和積とシャッフル積という2つの方法があります。それぞれ順番に紹介します。
（この記事では「調和積」「シャッフル積」の言葉を「関係式を得る方法」として使っています。用語の濫用ですが、インデックスとかの説明を一切していないのでご了承下さい。）

調和積

まず1つ目、調和積です。これはざっくり説明すると、積をシグマの変数の大小関係で分割する方法です。とりあえず例を見てください。$\displaystyleζ(2)ζ(3)$について考えます。リーマンゼータは1変数の場合のMZVですので、これはMZVの積になっています。計算するとこうなります。
$$　ζ(2)ζ(3)=\sum_{0< a_1}\frac{1}{{a_1}^2}\sum_{0< b_1}\frac{1}{{b_1}^3}\\ 　　　　　=\sum_{\color{red}{0< a_1,b_1}}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^3}\\ 　　　　　=\sum_{\color{red}{0< a_1< b_1}}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^3}+\sum_{\color{red}{0< a_1=b_1}}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^3}+\sum_{\color{red}{0< b_1< a_1}}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^3}\\ 　　　　　=ζ(2,3)+ζ(5)+ζ(3,2)$$
$a_1,b_1$の大小関係は$a_1< b_1,\ a_1=b_1,\ b_1< a_1$の3つの場合があり、逆にこれらの場合しかありません。したがって、このように分解することができるわけですね。
もう1つ練習です。今度は$ζ(2)ζ(1,2)$という、1変数と2変数のMZVの積について考えてみましょう。
$$　ζ(2)ζ(1,2)=\sum_{0< a_1}\frac{1}{{a_1}^2}\sum_{0< b_1< b_2}\frac{1}{b_1{b_2}^2}\\ 　　　　　　\ =\sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{{a_1}^2b_1{b_2}^2}$$
$a_1$に注目するなどして大小関係を考えると、あり得る場合は、
$$0< a_1< b_1< b_2\\ 0< a_1=b_1< b_2\\ 0< b_1< a_1< b_2\\ 0< b_1< a_1=b_2\\ 0< b_1< b_2< a_1$$
の5通りであることが分かります。
$$　ζ(2)ζ(1,2)=\sum_{{\color{red}　0< a_1\\{\color{red}0< b_1< b_2}}}\frac{1}{{a_1}^2b_1{b_2}^2}\\ 　　　　　　\ =\sum_{\color{red}0< a_1< b_1< b_2}\frac{1}{{a_1}^2b_1{b_2}^2}+\sum_{\color{red}0< a_1=b_1< b_2}\frac{1}{{a_1}^2b_1{b_2}^2}+\sum_{\color{red}0< b_1< a_1< b_2}\frac{1}{{a_1}^2b_1{b_2}^2}+\sum_{\color{red}0< b_1< a_1=b_2}\frac{1}{{a_1}^2b_1{b_2}^2}+\sum_{\color{red}0< b_1< b_2< a_1}\frac{1}{{a_1}^2b_1{b_2}^2}\\ 　　　　　　\ =ζ(2,1,2)+ζ(3,2)+ζ(1,2,2)+ζ(2,3)+ζ(1,2,2)\\ 　　　　　　\ =ζ(3,2)+ζ(2,3)+ζ(2,1,2)+2ζ(1,2,2)$$
と、こうなるわけですね。
（横長になっててすいません）
実際には多変数でわざわざこんな計算はしないので、興味のある方は色々調べてみて下さい。

シャッフル積

2つ目はシャッフル積です。簡単に説明すると、積を部分分数分解で分けるやり方です。今度も$ζ(2)ζ(3)$を考えてみましょう。使う部分分数分解は、前回の記事でもやった、
$$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}$$
です。とりあえずやってみましょう。手を動かしてみるのは何事でも大切です。
$$　ζ(2)ζ(3)=\sum_{0< a_1}\frac{1}{{a_1}^2}\sum_{0< b_1}\frac{1}{{b_1}^3}\\ 　　　　　\ = \sum_{0< a_1,b_1}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^3}\\ 　　　　　\ = \sum_{0< a_1,b_1}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^2(a_1+b_1)}+ \sum_{0< a_1,b_1}\frac{1}{a_1{b_1}^3(a_1+b_1)}\\ 　　　　　\ = \sum_{0< a_1,b_1}\frac{1}{{a_1}^2b_1(a_1+b_1)^2}+ \sum_{0< a_1,b_1}\frac{2}{a_1{b_1}^2(a_1+b_1)^2} {\color{red}+\sum_{0< a_1,b_1}\frac{1}{{b_1}^3(a_1+b_1)^2}}\\ 　　　　　\ = {\color{red}ζ(3,2)}{\color{blue}+\sum_{0< a_1,b_1}\frac{1}{{a_1}^2(a_1+b_1)^3}}+\sum_{0< a_1,b_1}\frac{3}{a_1b_1(a_1+b_1)^3}{\color{blue}+\sum_{0< a_1,b_1}\frac{2}{{b_1}^2(a_1+b_1)^3}}\\ 　　　　　\ = ζ(3,2){\color{blue}+3ζ(2,3)}{\color{red}+\sum_{0< a_1,b_1}\frac{3}{a_1(a_1+b_1)^4}+\sum_{0< a_1,b_1}\frac{3}{b_1(a_1+b_1)^4}}\\ 　　　　　\ = ζ(3,2)+3ζ(2,3){\color{red}+6ζ(1,4)}$$
中々ハードでしたが、計算できました。もう1つだけ、調和積と同じく$ζ(2)ζ(1,2)$で練習しましょう。
$$ζ(2)ζ(1,2)=\sum_{0< a_1}\frac{1}{{a_1}^2}\sum_{0< b_1< b_2}\frac{1}{b_1{b_2}^2}\\ 　　　　　\ =\sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{{a_1}^2b_1{b_2}^2}$$
シグマの中の変数が$a_1,\ b_1,\ b_2$の3つあります。こういうときにどの2つの変数に注目して部分分数分解すればいいかというと、$a_n$と$b_n$のそれぞれ一番大きいもの同士に注目すると上手くいきます。分かりやすいように注目する変数に色を付けておきました。
$$　ζ(2)ζ(1,2)=\sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{{\color{red}a_1}^2b_1{\color{red}b_2}^2}\\ 　　　　　　\ = \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{{\color{red}a_1}^2b_1{\color{red}b_2}(a_1+b_2)}+\sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{{\color{red}a_1}b_1{\color{red}b_2}^2(a_1+b_2)}\\ 　　　　　　\ = \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{{\color{red}a_1}^2{\color{red}b_1}(a_1+b_2)^2}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{2}{{\color{red}a_1}b_1{\color{red}b_2}(a_1+b_2)^2}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{b_1{b_2}^2(a_1+b_2)^2}\\ 　　　　　　\ = \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{{a_1}^2(a_1+b_1)(a_1+b_2)^2}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{{\color{red}a_1}{\color{red}b_1}(a_1+b_1)(a_1+b_2)^2}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{2}{{\color{red}a_1}{\color{red}b_1}(a_1+b_2)^3}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{2}{b_1b_2(a_1+b_2)^3}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{b_1{b_2}^2(a_1+b_2)^2}\\ 　　　　　　\ = \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{{a_1}^2(a_1+b_1)(a_1+b_2)^2}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{a_1(a_1+b_1)^2(a_1+b_2)^2}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{b_1(a_1+b_1)^2(a_1+b_2)^2}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{2}{a_1(a_1+b_1)(a_1+b_2)^3}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{2}{b_1(a_1+b_1)(a_1+b_2)^3}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{2}{b_1b_2(a_1+b_2)^3}+ \sum_{　0< a_1\\0< b_1< b_2}\frac{1}{b_1{b_2}^2(a_1+b_2)^2}\\ 　　　　　　\ = ζ(2,1,2)+ζ(1,2,2)+ζ(1,2,2)+2ζ(1,1,3)+2ζ(1,1,3)+2ζ(1,1,3)+ζ(1,2,2)\\ 　　　　　　\ = ζ(2,1,2)+3ζ(1,2,2)+6ζ(1,1,3)$$
下から3行目については、大小関係に気を付ければ、全部MZVで書けますね。
とても大変でしたが、なんとか計算することができました。
（横長すぎてすいません）
調和積と同じく、普通はこんな計算しないと思いますが、分かりやすさ重視です。

最後に

本当は2変数同士でも級数で計算したかったんですが、あまりに計算が大変なので諦めました。暇な人はやってみてください。
それと、この内容に関してはmathlog内でも色んな人が解説しているので読んでみて下さい。（解説していない記号が大量に出てきますが）