調和積・シャッフル積の話

はじめに

まずこの記事のゴールは、MZV同士の積をMZVの線形結合＝和で表すことです。MZVの定義・扱いについては こちら とかをご覧ください。MZVの積を和にする方法として、調和積とシャッフル積という2つの方法があります。それぞれ順番に紹介します。
（この記事では「調和積」「シャッフル積」の言葉を「関係式を得る方法」として使っています。用語の濫用ですが、インデックスとかの説明を一切していないのでご了承下さい。）

調和積

まず1つ目、調和積です。これはざっくり説明すると、積をシグマの変数の大小関係で分割する方法です。とりあえず例を見てください。${\displaystyle \zeta (2)\zeta (3)}$について考えます。リーマンゼータは1変数の場合のMZVですので、これはMZVの積になっています。計算するとこうなります。
$$\begin{gathered} \zeta (2)\zeta (3)=\sum _{0<a_1}\frac{1}{{a_1}^2}\sum _{0<b_1}\frac{1}{{b_1}^3} \\ =\sum _{0<a_1,b_1}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^3} \\ =\sum _{0<a_1<b_1}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^3}+\sum _{0<a_1=b_1}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^3}+\sum _{0<b_1<a_1}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^3} \\ =\zeta (2,3)+\zeta (5)+\zeta (3,2) \end{gathered}$$
$a_1,b_1$の大小関係は$a_1<b_1,a_1=b_1,b_1<a_1$の3つの場合があり、逆にこれらの場合しかありません。したがって、このように分解することができるわけですね。
もう1つ練習です。今度は$\zeta (2)\zeta (1,2)$という、1変数と2変数のMZVの積について考えてみましょう。
$$\begin{gathered} \zeta (2)\zeta (1,2)=\sum _{0<a_1}\frac{1}{{a_1}^2}\sum _{0<b_1<b_2}\frac{1}{b_1{b_2}^2} \\ =\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1{b_2}^2} \end{gathered}$$
$a_1$に注目するなどして大小関係を考えると、あり得る場合は、
$$\begin{gathered} 0<a_1<b_1<b_2 \\ 0<a_1=b_1<b_2 \\ 0<b_1<a_1<b_2 \\ 0<b_1<a_1=b_2 \\ 0<b_1<b_2<a_1 \end{gathered}$$
の5通りであることが分かります。
$$\begin{gathered} \zeta (2)\zeta (1,2)=\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1{b_2}^2} \\ =\sum _{0<a_1<b_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1{b_2}^2}+\sum _{0<a_1=b_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1{b_2}^2}+\sum _{0<b_1<a_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1{b_2}^2}+\sum _{0<b_1<a_1=b_2}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1{b_2}^2}+\sum _{0<b_1<b_2<a_1}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1{b_2}^2} \\ =\zeta (2,1,2)+\zeta (3,2)+\zeta (1,2,2)+\zeta (2,3)+\zeta (1,2,2) \\ =\zeta (3,2)+\zeta (2,3)+\zeta (2,1,2)+2\zeta (1,2,2) \end{gathered}$$
と、こうなるわけですね。
（横長になっててすいません）
実際には多変数でわざわざこんな計算はしないので、興味のある方は色々調べてみて下さい。

シャッフル積

2つ目はシャッフル積です。簡単に説明すると、積を部分分数分解で分けるやり方です。今度も$\zeta (2)\zeta (3)$を考えてみましょう。使う部分分数分解は、前回の記事でもやった、
$$\frac{1}{ab}=\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}$$
です。とりあえずやってみましょう。手を動かしてみるのは何事でも大切です。
$$\begin{gathered} \zeta (2)\zeta (3)=\sum _{0<a_1}\frac{1}{{a_1}^2}\sum _{0<b_1}\frac{1}{{b_1}^3} \\ =\sum _{0<a_1,b_1}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^3} \\ =\sum _{0<a_1,b_1}\frac{1}{{a_1}^2{b_1}^2(a_1+b_1)}+\sum _{0<a_1,b_1}\frac{1}{a_1{b_1}^3(a_1+b_1)} \\ =\sum _{0<a_1,b_1}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1(a_1+b_1{)}^2}+\sum _{0<a_1,b_1}\frac{2}{a_1{b_1}^2(a_1+b_1{)}^2}+\sum _{0<a_1,b_1}\frac{1}{{b_1}^3(a_1+b_1{)}^2} \\ =\zeta (3,2)+\sum _{0<a_1,b_1}\frac{1}{{a_1}^2(a_1+b_1{)}^3}+\sum _{0<a_1,b_1}\frac{3}{a_1{b}_1(a_1+b_1{)}^3}+\sum _{0<a_1,b_1}\frac{2}{{b_1}^2(a_1+b_1{)}^3} \\ =\zeta (3,2)+3\zeta (2,3)+\sum _{0<a_1,b_1}\frac{3}{a_1(a_1+b_1{)}^4}+\sum _{0<a_1,b_1}\frac{3}{b_1(a_1+b_1{)}^4} \\ =\zeta (3,2)+3\zeta (2,3)+6\zeta (1,4) \end{gathered}$$
中々ハードでしたが、計算できました。もう1つだけ、調和積と同じく$\zeta (2)\zeta (1,2)$で練習しましょう。
$$\begin{gathered} \zeta (2)\zeta (1,2)=\sum _{0<a_1}\frac{1}{{a_1}^2}\sum _{0<b_1<b_2}\frac{1}{b_1{b_2}^2} \\ =\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1{b_2}^2} \end{gathered}$$
シグマの中の変数が$a_1,b_1,b_2$の3つあります。こういうときにどの2つの変数に注目して部分分数分解すればいいかというと、$a_n$と$b_n$のそれぞれ一番大きいもの同士に注目すると上手くいきます。分かりやすいように注目する変数に色を付けておきました。
$$\begin{gathered} \zeta (2)\zeta (1,2)=\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1{b_2}^2} \\ =\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1{b}_2(a_1+b_2)}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{a_1{b}_1{b_2}^2(a_1+b_2)} \\ =\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2{b}_1(a_1+b_2{)}^2}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{2}{a_1{b}_1{b}_2(a_1+b_2{)}^2}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{b_1{b_2}^2(a_1+b_2{)}^2} \\ =\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2(a_1+b_1)(a_1+b_2{)}^2}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{a_1{b}_1(a_1+b_1)(a_1+b_2{)}^2}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{2}{a_1{b}_1(a_1+b_2{)}^3}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{2}{b_1{b}_2(a_1+b_2{)}^3}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{b_1{b_2}^2(a_1+b_2{)}^2} \\ =\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{{a_1}^2(a_1+b_1)(a_1+b_2{)}^2}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{a_1(a_1+b_1{)}^2(a_1+b_2{)}^2}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{b_1(a_1+b_1{)}^2(a_1+b_2{)}^2}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{2}{a_1(a_1+b_1)(a_1+b_2{)}^3}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{2}{b_1(a_1+b_1)(a_1+b_2{)}^3}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{2}{b_1{b}_2(a_1+b_2{)}^3}+\sum _{ 0<a_1 \\ 0<b_1<b_2}\frac{1}{b_1{b_2}^2(a_1+b_2{)}^2} \\ =\zeta (2,1,2)+\zeta (1,2,2)+\zeta (1,2,2)+2\zeta (1,1,3)+2\zeta (1,1,3)+2\zeta (1,1,3)+\zeta (1,2,2) \\ =\zeta (2,1,2)+3\zeta (1,2,2)+6\zeta (1,1,3) \end{gathered}$$
下から3行目については、大小関係に気を付ければ、全部MZVで書けますね。
とても大変でしたが、なんとか計算することができました。
（横長すぎてすいません）
調和積と同じく、普通はこんな計算しないと思いますが、分かりやすさ重視です。

最後に

本当は2変数同士でも級数で計算したかったんですが、あまりに計算が大変なので諦めました。暇な人はやってみてください。
それと、この内容に関してはmathlog内でも色んな人が解説しているので読んでみて下さい。（解説していない記号が大量に出てきますが）