ζ(4)=π⁴/90の証明1

まえがき

$ζ(4)$の値を求める方法をいろいろ試行錯誤したところ、2通りの求め方を思いついたのでとりあえず1つ書いてみることにします。

リーマンゼータ関数

リーマンゼータ関数$\zeta (s)$ は上記のように定義されます。なお今記事では、s=4の場合しか扱いません。

用いる公式

$ 以下、z\in $$ \mathbb{C}とします。 $

証明

$$ \sin z \cdot \sinh z$$
$$= ( \frac{ e^{iz} - e^{ - iz} }{2i} )( \frac{ e^{z} - e^{ - z} }{2})$$
$$= \frac{1}{4i} ( e^{(i+1)z} + e^{ - (i + 1)z} - e^{(i - 1)z} - e^{ - (i - 1)z}) $$
$$ = \frac{1}{2i} \lbrace \cosh{ \lbrace (i + 1)z \rbrace - \cosh {\lbrace{ (i - 1)z}\rbrace }} \rbrace $$
$$= {\frac{i}{2} \lbrace \cosh{ \lbrace (i - 1)z \rbrace - \cosh {\lbrace{ (i +1)z}\rbrace }} \rbrace}$$
$$ = \frac{i}{2} ( \sum_{n = 0}^{∞} \frac{(i - 1)^{2n}}{(2n)!} z^{2n} - \sum_{n=0}^{∞} \frac{(i + 1)^{2n}}{(2n)!} z^{2n})$$
$$= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{∞} \frac{4^n}{(4n - 2)!} ( - 1)^{n + 1}z^{4n - 2} \quad \lbrace {\because (i-1)^{4n} = (i+1)^{4n} \land \ (i-1)^{4n-2}=-(i+1)^{4n-2}} \rbrace$$

$$ \therefore \sin \pi z \cdot \sinh \pi z = {\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{∞} \frac{4^n \pi ^{4n - 2}}{(4n - 2)!} ( - 1)^{n + 1}z^{4n - 2}}\cdots ①$$
$(変数が\pi zとなっていることに注意。 )$

また、$$\sin \pi z , \sinh \pi z$$ それぞれの無限積表示から、

$$\sin \pi z \cdot \sinh \pi z$$
$$= \lbrace {\pi z \prod_{n=1}^{∞}(1 - \frac{z^2}{n^2} ) } \rbrace \lbrace {\pi z \prod_{n=1}^{∞}(1 + \frac{z^2}{n^2} ) } \rbrace $$
$$= \pi ^2z^2 \prod_{n=1}^{∞}(1 - \frac{z^4}{n^4} ) 　 $$

$$ \therefore \sin \pi z \cdot \sinh \pi z = \pi ^2z^2 \prod_{n=1}^{∞}(1 - \frac{z^4}{n^4} ) \cdots② $$

①②について、$z^6$で係数比較すると
$$ - \pi ^2 \zeta (4)= -\frac{1}{2} { \pi }^6 {\frac{4^2}{6!}} $$

$$ \zeta (4)= \frac{8}{720} \pi ^4 $$

$$ \underline{ \therefore \zeta (4) = \frac{ \pi ^4}{90} \blacksquare } $$

おまけ

上記の証明では$z^6$で係数比較をしましたが、一般に$z^{4n+2}$で係数比較をすることにより、次の等式を得ることができます。

なかなか面白そうな式^-^

例えば、n=2とすると

$$ \sum_{0 \lt a_{1} \lt a_{2} } \frac{1}{ a_{1}^4 a_{2}^4 }$$
$$= \frac{2^5}{10!}\pi ^8 $$
$$ =\frac{ \pi ^8}{113400} $$(超エキサイティング!!!)