ζ(4)=π⁴/90の証明1

まえがき

$\zeta (4)$の値を求める方法をいろいろ試行錯誤したところ、2通りの求め方を思いついたのでとりあえず1つ書いてみることにします。

リーマンゼータ関数

リーマンゼータ関数$\zeta (s)$ は上記のように定義されます。なお今記事では、s=4の場合しか扱いません。

用いる公式

$以下、z\in$$\mathbb{C}とします。$

証明

$$\sin z\cdot \sinh z$$
$$=(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i})(\frac{e^z-e^{-z}}{2})$$
$$=\frac{1}{4i}(e^{(i+1)z}+e^{-(i+1)z}-e^{(i-1)z}-e^{-(i-1)z})$$
$$=\frac{1}{2i}\{\cosh \{(i+1)z\}-\cosh \{(i-1)z\}\}$$
$$=\frac{i}{2}\{\cosh \{(i-1)z\}-\cosh \{(i+1)z\}\}$$
$$=\frac{i}{2}(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(i-1{)}^{2n}}{(2n)!}{z}^{2n}-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(i+1{)}^{2n}}{(2n)!}{z}^{2n})$$
$$=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4^n}{(4n-2)!}(-1{)}^{n+1}{z}^{4n-2}\{\because (i-1{)}^{4n}=(i+1{)}^{4n}\wedge (i-1{)}^{4n-2}=-(i+1{)}^{4n-2}\}$$

$$\therefore \sin \pi z\cdot \sinh \pi z=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4^n{\pi }^{4n-2}}{(4n-2)!}(-1{)}^{n+1}{z}^{4n-2}\cdots \mathrm{①}$$
$(変数が\pi zとなっていることに注意。)$

また、$$\sin \pi z,\sinh \pi z$$ それぞれの無限積表示から、

$$\sin \pi z\cdot \sinh \pi z$$
$$=\{\pi z\prod _{n=1}^{\infty }(1-\frac{z^2}{n^2})\}\{\pi z\prod _{n=1}^{\infty }(1+\frac{z^2}{n^2})\}$$
$$={\pi }^2{z}^2\prod _{n=1}^{\infty }(1-\frac{z^4}{n^4})$$

$$\therefore \sin \pi z\cdot \sinh \pi z={\pi }^2{z}^2\prod _{n=1}^{\infty }(1-\frac{z^4}{n^4})\cdots \mathrm{②}$$

①②について、$z^6$で係数比較すると
$$-{\pi }^2\zeta (4)=-\frac{1}{2}{\pi }^6\frac{4^2}{6!}$$

$$\zeta (4)=\frac{8}{720}{\pi }^4$$

$$\underset{―}{\therefore \zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}◼}$$

おまけ

上記の証明では$z^6$で係数比較をしましたが、一般に$z^{4n+2}$で係数比較をすることにより、次の等式を得ることができます。

なかなか面白そうな式^-^

例えば、n=2とすると

$$\sum _{0<a_1<a_2}\frac{1}{a_1^4{a}_2^4}$$
$$=\frac{2^5}{10!}{\pi }^8$$
$$=\frac{{\pi }^8}{113400}$$(超エキサイティング!!!)