大学数学基礎解説

ζ(4)=π⁴/90の証明2

ゼータ関数

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まえがき

この記事では $ζ (4)$ の値が $\frac{π^{4}}{90}$ であることを証明していきます。おし、やっていこう！！！

リーマンゼータ関数

$ζ (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}$

リーマンゼータ関数は上記のように定義されます。なお、今記事では $s$ は2以上の自然数としています。

証明の準備

ζ (2)

の値

$ζ (2) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$

補題１

$\sin x$ をマクローリン展開および無限積表示する
$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} \dots$
$\sin x = x (1 - \frac{x^{2}}{π^{2}}) (1 - \frac{x^{2}}{(2 π)^{2}}) (1 - \frac{x^{2}}{(3 π)^{2}}) \dots$
2式から、 $z^{3}$ で係数比較することにより、
$- \frac{1}{π^{2}} ζ (2) = - \frac{1}{3!}$
$\underset{―}{∴ ζ (2) = \frac{π^{2}}{6} ◼}$

ζ (2, 2)

の値

$ζ (2, 2) = \sum_{a_{1} < a_{2}} \frac{1}{a_{1}^{2} a_{2}^{2}} = \frac{π^{4}}{120}$

補題２

補題１と同様にして示すことができる。
$\sin x$ をマクローリン展開および無限積表示した2式において、
$z^{5}$ で係数比較をすることにより
$\sum_{a_{1} < a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^{2} {a_{2}}^{2}} = \frac{π^{4}}{5!} = \frac{π^{4}}{120} ◼$

証明

$ζ (2) \cdot ζ (2)$
$= \sum_{0 < a_{1}, a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^{2} {a_{2}}^{2}}$
$= \sum_{a_{1} = a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^{2} {a_{2}}^{2}} + \sum_{a_{1} < a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^{2} {a_{2}}^{2}} + \sum_{a_{1} > a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^{2} {a_{2}}^{2}}$
$= \sum_{0 < a_{1}} \frac{1}{{a_{1}}^{4}} + 2 \sum_{a_{1} < a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^{2} {a_{2}}^{2}}$

$= ζ (4) + 2 \frac{π^{4}}{120}$

$ここで、 ζ (2) \cdot ζ (2) = \frac{π^{4}}{36} より$

$\frac{π^{4}}{36} = ζ (4) + 2 \frac{π^{4}}{120}$

$ζ (4) = \frac{π^{4}}{36} - \frac{π^{4}}{60}$

$ζ (4) = \frac{10 π^{4}}{360} - \frac{6 π^{4}}{360}$

$\underset{―}{∴ ζ (4) = \frac{π^{4}}{90} ◼}$

おまけ

補題１や補題２の証明の際、2式

$\sin x = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} (- 1)^{n - 1}$
$\sin x = x \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{(n π)^{2}})$
から $z^{3}$ や $z^{5}$ について係数比較をしてきた。
一般に、 $z^{2 n + 1}$ で係数比較をすることにより、以下の等式を得る。