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ζ(4)=π⁴/90の証明2

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まえがき

この記事では$ \zeta (4)$ の値が$\frac{ \pi ^4}{90}$であることを証明していきます。おし、やっていこう!!!

リーマンゼータ関数

リーマンゼータ関数

$$ \zeta (s)= \sum_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^s} $$

リーマンゼータ関数は上記のように定義されます。なお、今記事では$s$は2以上の自然数としています。

証明の準備

$ \zeta (2)$の値

$$ \zeta (2)=\sum_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^2} = \frac{ \pi ^2}{6} $$

補題1

$\sin x$をマクローリン展開および無限積表示する
$ \sin x=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \cdots $
$ \sin x=x(1- \frac{x^2}{ \pi^2 } )(1- \frac{x^2}{ (2 \pi) ^2} )(1- \frac{x^2}{( 3 \pi) ^2} ) \cdots $
2式から、$z^3$で係数比較することにより、
$$ - \frac{1}{ \pi ^2} \zeta (2)=- \frac{1}{3!} $$
$$ \underline{ \therefore \zeta (2)= \frac{ \pi ^2}{6} \blacksquare } $$

$ \zeta(2,2)$の値

$$ \zeta(2,2)= \sum_{ a_{1} \lt a_{2} } \frac{1}{a_{1}^2 a_{2}^2} = \frac{ \pi ^4}{120} $$

補題2

補題1と同様にして示すことができる。
$\sin x$をマクローリン展開および無限積表示した2式において、
$z^5$で係数比較をすることにより
$$ \sum_{a_{1} \lt a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^2 {a_{2}}^2}= \frac{ \pi ^4}{5!} =\frac{ \pi ^4}{120}\blacksquare $$

証明

$ \zeta (2) \cdot \zeta (2)$
$$ = \sum_{0 \lt a_{1} , a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^2 {a_{2}}^2}$$
$$ = \sum_{a_{1}=a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^2 {a_{2}}^2} + \sum_{a_{1}\lt a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^2 {a_{2}}^2} + \sum_{a_{1} \gt a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^2 {a_{2}}^2} $$
$$ = \sum_{0 \lt a_{1}} \frac{1}{{a_{1}}^4} + 2\sum_{a_{1}\lt a_{2}} \frac{1}{{a_{1}}^2 {a_{2}}^2}$$

$$= \zeta (4)+ 2\frac{ \pi ^4}{{120}}$$

$$ここで、 \zeta (2) \cdot \zeta (2) = \frac{ \pi ^4}{36}より$$

$$ \frac{ \pi ^4}{36} = \zeta (4)+ 2\frac{ \pi ^4}{120} $$

$$ \zeta (4)= \frac{ \pi ^4}{36} - \frac{ \pi ^4}{60}$$

$$\zeta (4)= \frac{ 10\pi ^4}{360} - \frac{ 6\pi ^4}{360} $$

$$ \underline{ \therefore \zeta (4)= \frac{ \pi ^4}{90}\blacksquare } $$

おまけ

補題1や補題2の証明の際、2式

$$\sin x= \sum_{n=1}^{∞} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} (-1)^{n-1} $$
$$\sin x=x \prod_{n=1}^{∞}(1 - \frac{x^2}{ (n\pi) ^2} ) $$
から$z^3$$z^5$について係数比較をしてきた。
一般に、$z^{2n+1}$で係数比較をすることにより、以下の等式を得る。

$$ \sum_{0 \lt a_{1} \lt a_{2} \lt \cdots \lt a_{n}} \frac{1}{a_{1}^2 \cdot a_{2}^2 \cdots a_{n}^2} = \frac{ {\pi} ^{2n}}{(2n+1)!} $$

(超エキサイティング!!!)
※上記の左辺は$\zeta ( \lbrace 2 \rbrace^n )$と書くこともできます。

おわりに

先日、$ \zeta (4)= \frac{ \pi ^4}{90} $であることの新しい証明法を思いついたので、またいつか暇な時に投稿するかもしれません。
ここまで読んでいただきありがとうございました。

投稿日:2022611

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