ばこてんとかSchutzの行間補完したい

($\Rightarrow$)
$v_1, v_2 \in V$について、$f(v_1) = f(v_2)$とする。
$$ \begin{align*} f(v_1) & = f(v_2) \\ f(v_1) - f(v_1) & = f(v_2) - f(v_1) \\ 0_W & = f(v_2 - v_1) \\ \end{align*} $$
ここで、$\mathrm{Ker}f = \{0_V\}$より$v_2 - v_1 = 0_V$、よって$v_1 = v_2$。

($\Leftarrow$)
$v \in V$について$0_W = f(v) - f(v) = f(v - v) = f(0_V)$より常に$0_V \in \mathrm{Ker}f$。
さらに$f$は単射より、$\mathrm{Ker}f = \{0_V\}$。

線型写像$f:V \rightarrow W$に逆射$f^{-1} : \mathrm{Im}f \rightarrow V $が存在すると仮定する。
このとき任意の$w_1, w_2 \in \mathrm{Im}f$について$f(v_1) = w_1, f(v_2) = w_2$なる$v_1, v_2 \in V$が存在する。
これを用いて、
$$ \begin{align*} f^{-1}(\lambda w_1 + w_2) & = f^{-1}(\lambda f(v_1) + f(v_2)) \\ & = f^{-1}(f(\lambda v_1 + v_2)) \\ & = \lambda v_1 + v_2 \\ & = \lambda f(w_1) + f(w_2) \end{align*} $$
よって$f^{-1}$は線型写像。

$\lambda \in \mathbb{R}$と$f, g \in L(V, W)$について、$W$の演算をそのまま用いて
$$f+g : V \rightarrow W ;\ v \mapsto f(v) +_{W} g(v)$$
$$\lambda f : V \rightarrow W ;\ v \mapsto \lambda \cdot_{W} f(v)$$
となるように演算を定義すると、明らかに$L(V, W)$とこの演算は線型空間を成す(定義の条件を満たします)。

任意の$f \in L(V, \mathbb{R})$について、
$\xi_{e} = f(e)$となるよう$\xi \in \mathbb{R}^{E}$を定義すると、
$f(v) = f\left(\sum_{e \in E} c_{e} e\right) = \sum_{e \in E} c_{e} f(e) = \sum_{e \in E} c_{e} \xi_{e} = \sum_{e \in E} \xi_{e} e^{*}(v) $より、
$$ f = \sum_{e \in E} \xi_{e} e^{*} $$
よって、$f$は$\{ e^{*} \mid e \in E \}$に一意に線型従属する。

$\psi:V \rightarrow V^{**};\ v \mapsto [ f \mapsto f(v) ]$とおく。
$f$はベクトルを実数に移す線型写像、すなわち$L(V, \mathbb{R})$の元である。
まず$\psi$が線型であることを示す。
$$ \begin{align*} \psi(\lambda v_1 + v_2) & = [f \mapsto f(\lambda v_1 + v_2)] \\ & = [f \mapsto \lambda f(v_1) + f(v_2)] \\ & = [f \mapsto \lambda f(v_1)] + [f \mapsto f(v_2)] \\ & = \lambda[f \mapsto f(v_1)] + [f \mapsto f(v_2)] \\ & = \lambda \psi(v_1) + \psi(v_2) \end{align*} $$

次に単射であることを示す。
$\psi(v_1) = \psi(v_2)$を仮定する。
$[f \mapsto f(v_1)] = [f \mapsto f(v_2)]$
$f = e^{*}_{i}$である場合を考えると、$e^{*}_{i}v_1 = e^{*}_{i}v_2$。すなわち$v_1$と$v_2$はあらゆる成分が等しいため$v_1 = v_2$である。

次に上射(全射)であることを示す。
双対基底の双対基底は
$$ e^{**} ;\; v^{*} = \sum_{e'^{*} \in E^{*}} c^{*}_{e'^{*}} e'^{*} \mapsto c^{*}_{e^{*}} = \sum_{e'^{*} \in E^{*}} c^{*}_{e'^{*}} e'^{*}(e) = v^{*}(e) $$
であるから$e^{**} = \psi(e)$(基底$E$の双対基底を$E^{*}$と記述しています)。
命題4より$E^{**}$は$V^{**}$の基底であるから、任意の$v^{**} \in V^{**}$について$v^{**} = \sum_{e^{**} \in E^{**}} \xi'_{e^{**}} e^{**} = \sum_{e \in E} \xi_e e^{**}$となる。
これを用いて
$$ \begin{align*} v^{**} & = \sum_{e \in E} \xi_e e^{**} \\ & = \sum_{e \in E} \xi_e \psi(e) \\ & = \psi(\sum_{e \in E} \xi_e e) \end{align*} $$
よって、$\forall v^{**} \in V^{**} \; \exists v \in V \; \psi(v) = v^{**}$より上射。

以上より、補題2の系から$V \simeq V^{**}$。

$v \in V, w \in W$について$v = \sum_{e_V \in E_V} a_{e_V} e_V, w = \sum_{e_W \in E_W} b_{e_W} e_W$とする。
このとき
$$ \begin{align*} (v \otimes w)(v'^{*}, w'^{*}) & = (v'^{*}v)(w'^{*}w) \\ & = \left( v'^{*} \left(\sum_{e_V \in E_V} a_{e_V} e_V\right) \right) \left( w'^{*} \left(\sum_{e_W \in E_W} b_{e_W} e_W\right) \right) \\ & = \left(\sum_{e_V \in E_V} a_{e_V} v'^{*}(e_V)\right) \left(\sum_{e_W \in E_W} b_{e_W} w'^{*}(e_W)\right) \\ & = \sum_{e_V \in E_V} \left( a_{e_V} v'^{*}(e_V) \left(\sum_{e_W \in E_W} b_{e_W} w'^{*}(e_W)\right) \right) \\ & = \sum_{e_V \in E_V} \sum_{e_W \in E_W} \left( a_{e_V} v'^{*}(e_V) b_{e_W} w'^{*}(e_W) \right) \\ & = \sum_{e_V \in E_V} \sum_{e_W \in E_W} \left( a_{e_V} b_{e_W} (e_V \otimes e_W)(v'^{*}, w'^{*}) \right) \\ \end{align*} $$
より
$$ v \otimes w = \sum_{e_V \in E_V} \sum_{e_W \in E_W} a_{e_V} b_{e_W} (e_V \otimes e_W) $$
よって、$v \otimes w$は$\{ e_V \otimes e_W \mid e_V \in E_V \land e_W \in E_W \}$に一意に線型従属する。