関数
これを比較的簡単に計算する方法として、次の公式が知られています。
となり、正しく逆ラプラス変換できています。
このように、ただの分数関数などでは問題ありません。
しかし、変換表で求められる程度の単純な関数の逆ラプラス変換でも、留数の総和では正しい答えにならないことがあります。
その例を示します。
変換表を用いると
であることはすぐにわかります。ただし、関数
しかし
となり、
そこで、逆ラプラス変換を表す複素積分に立ち返ってみましょう。
逆ラプラス変換が留数の総和で計算できるとされる理由は
という仮定です。
すると、十分大きい
積分路が
つまり、積分路が
複素積分では求められるということを、先ほどの関数で確かめましょう。
です。
積分の三角不等式や、
よって
特異点は原点のみなので
積分の三角不等式や、
よって
まとめると
不連続点を除いて、