完備体上の有限次線形空間のノルムは全て同値である

線形代数学,解析学

629

はじめに

　この記事では後の記事で補題として使う事実「完備体上の有限次線形空間のノルムは全て同値である」を証明していきます。

諸概念の定義

絶対値

　体 $K$ から非負実数 $R_{\geq 0}$ への写像 $| \cdot |$ が絶対値、あるいはノルムであるとは、 $| \cdot |$ が以下の性質を満たすことを言う。

(正値性) $| x | = 0 ⟺ x = 0$
(乗法性) $| x y | = | x | | y |$
(三角不等式) $| x + y | \leq | x | + | y |$

完備体

ノルム

　絶対値 $| \cdot |$ の定まった体 $K$ 上の線形空間 $V$ から $R_{\geq 0}$ への写像 $∥ \cdot ∥$ がノルムであるとは、 $∥ \cdot ∥$ が以下の性質を満たすことを言う。

(正値性) $∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0$
(斉次性) $∥ a x ∥ = | a | ∥ x ∥ (a \in K)$
(三角不等式) $∥ x + y ∥ \leq ∥ x ∥ + ∥ y ∥$

同値なノルム

　 $K$ 上の線形空間 $V$ のノルム $∥ \cdot ∥, ∥ \cdot ∥^{'}$ が同値であるとは、ある正数 $C, C^{'} > 0$ が存在して、常に
$C ∥ x ∥^{'} \leq ∥ x ∥ \leq C^{'} ∥ x ∥^{'}$
が成り立つことを言う。同値なノルムは $V$ において同じ位相を定める。

本題

　 $V$ を絶対値 $| \cdot |$ の備わった完備体 $K$ 上の有限次線形空間とする。このとき $V$ のノルムは全て同値であり、また $V$ はそれらのノルムについて完備となる。

　 $V$ の基底の一つを ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ とおき
$x = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + \dots + a_{n} e_{n} \in V$
に対してノルム $∥ \cdot ∥_{0}$ を
$∥ x ∥_{0} = max_{1 \leq i \leq n} | a_{i} |$
で定めると、 $V$ はこのノルムに対して完備であることは簡単にわかる(コーシー列 ${x_{k}}$ に対して各成分の極限を取れば収束先の存在がわかる)ので、任意のノルム $∥ \cdot ∥$ がこのノルムと同値であることを示せばよい。
　いま
$C^{'} = max_{1 \leq i \leq n} ∥ e_{i} ∥ > 0$
とおくと三角不等式と斉次性から常に
$∥ x ∥ \leq C^{'} ∥ x ∥_{0}$
が成り立つことがわかるので、後は以下の主張を示せばよい。

　任意のノルム $∥ \cdot ∥$ に対してある $C > 0$ が存在して常に
$C ∥ x ∥_{0} \leq ∥ x ∥$
が成り立つ。

　数学的帰納法と背理法で示す。 $\dim V = 1$ のときは明らか。
　 $\dim V \leq n - 1$ で命題1が成り立つとする。また $\dim V = n$ のときに成り立たないと仮定し矛盾を導く。
　いま仮定より任意の自然数 $m$ に対してある $x_{m}$ が存在して
$\frac{1}{m} ∥ x_{m} ∥_{0} > ∥ x_{m} ∥$
が成り立ち、この $x_{m}$ の各成分 $a_{m, i}$ を考えると集合
$A_{j} = {m \in N ∣ ∥ x_{m} ∥_{0} = | a_{m, j} |} (1 \leq j \leq n)$
が無限集合となるような $j$ が存在して(存在しないとすると $⋃_{j} A_{j} = N$ が有限集合となって矛盾)、基底の順番を入れ替えることで $j = n$ において無限集合となるとしてよい。
　このとき
$A_{n} = {m_{1}, m_{2}, m_{3}, \dots}, y_{k} = \frac{x_{m_{k}}}{a_{m_{k}, n}}$
および
$z_{k} = y_{k} - e_{n} \in W := ⨁_{i = 1}^{n - 1} K e_{i}$
とおくと $\frac{1}{m_{k}} > ∥ y_{k} ∥$ より
$\begin{aligned} ∥ z_{k} - z_{k^{'}} ∥ & = ∥ y_{k} - y_{k^{'}} ∥ \\ \leq ∥ y_{k} ∥ + ∥ y_{k^{'}} ∥ \\ < \frac{1}{m_{k}} + \frac{1}{m_{k^{'}}} \to 0 (k, k^{'} \to \infty) \end{aligned}$
が成り立つので ${z_{k}}$ はコーシー列となる。また仮定より $W$ はノルム $∥ \cdot ∥$ に関して完備であったのでその収束先 $z \in W$ が存在するが
$∥ z + e_{n} ∥ = lim_{k \to \infty} ∥ y_{k} ∥ \leq lim_{k \to \infty} \frac{1}{m_{k}} = 0$
より $e_{n} = - z \in W$ となって矛盾。以上より主張を得る。