区間縮小法の原理で「2乗して2になる正の実数（√2）」の存在を確認する

Introduction

　高校の教科書などで紹介されている「$\sqrt{2}$は無理数」の証明について、「そもそも$2$乗して$2$になる正の実数の存在が証明されていない」といった指摘を見かけます。

　今回は「区間縮小法の原理」を使いながら、$2$乗して$2$になる正の実数の存在を確認していきます。

　※中間値の定理ですぐ確認できる事実ではありますが、実数についての勉強もかねて、「区間縮小法の原理」を使ってみようと思います。

　※実数について、よくわかっていないので「これを仮定したらマズいよ」という性質を使っているようであれば、ぜひコメントなどください。

　※最初に本記事を公開したときには「$\sqrt{2}$は実数であることを確認する」といった表現をしていましたが、それでは「（実数なのかどうかわからないものではあるが）$\sqrt{2}$が定義されていて、それが実数であることを示す」という意味合いになってしまうため、記事内の表現を一部変更しました（2022/6/20更新）

　※一意性についても追記しました（2022/6/20更新）

区間縮小法の原理

（参考：藤田博司「『集合と位相』をなぜ学ぶのか」p.67）

「区間縮小法の原理」は、実数の連続性を表現する命題の1つとして知られていて、その他にも代表的な例として、以下のようなものがあります。

・＜ワイエルシュトラス連続の原理＞：上に有界な点集合には上限が存在する
・＜デデキントの切断の原理＞：実数の全体を左組と右組に切断するとき、その境界となる数が必ず存在する

（参考：藤田博司「『集合と位相』をなぜ学ぶのか」p.62）

上記について、お気持ち部分を解説しておきます。

高校の教科書などで「実数は数直線で表現できる」と学び、「途切れなくつながっている」などのイメージを持っている人が多いと思います。そのあたりについて、何となくのイメージでごまかすことなく、きちんと数学の言葉にしているのが、上記の命題たちである、と私は理解しています。

また、有理数では成り立たない命題なので、実数を特徴づけている性質である、とも認識しています。

ただ、私自身、実数について完璧に理解している自信はないので、この説明は「へー」程度に受け流しておいてください。

ねこによるイメージ図

方針

ざっくりした方針は以下です。

集合$A,B$を以下とし、実数を2つに分けます。
$$ A=\{x \in \mathbb{R}| x \leqq 0 \ \mbox{または}\ x^2 \leqq 2\} $$
$$ B=\{x \in \mathbb{R}| x > 0 \ \mbox{かつ}\ x^2 > 2\} $$

$A \ni 1,\ B \ni 2$をとり、$a_1=1,\ b_1=2$とします。これらの中点を$c_1$とすると
$$ c_1=\frac{a_1+b_1}{2}=1.5 $$
となり、${c_1}^2=2.25>2$なので、$c_1 \in B$です。

次に、$a_1=a_2 \in A,\ b_2=c_1 \in B$とします。これらの中点を$c_2$とすると
$$ c_2=\frac{a_2+b_2}{2}=1.25 $$
となり、${c_2}^2=1.5625\leqq 2$なので、$c_2 \in A$です。

さらに次は、$a_3=c_2 \in A,\ b_3=b_2 \in B$とします。これらの中点をとり、$A$か$B$どちらに属するか判定します。

これをくりかえします。つまり、$a_n \in A,\ b_n \in B$が与えられたとき、これらの中点$c_n$をとります。$c_n \in A$であるときは、$a_{n+1}=c_n,\ b_{n+1}=b_n$とし、$c_n \in B$であるときは、$a_{n+1}=a_n,\ b_{n+1}=c_n$とします。

このようにして、閉区間の入れ子
$$ [a_1,b_1]\supseteq[a_2,b_2]\supseteq\cdots\supseteq[a_n,b_n]\supseteq\cdots $$
をつくり、その共通要素を調べます。

実際に計算をしてみると……

$[a_n,b_n]$を$n=1$から$n=30$まで計算すると、以下のようになります。

[1.0,2.0]
[1.0,1.5]
[1.25,1.5]
[1.375,1.5]
[1.375,1.4375]
[1.40625,1.4375]
[1.40625,1.421875]
[1.4140625,1.421875]
[1.4140625,1.41796875]
[1.4140625,1.416015625]
[1.4140625,1.4150390625]
[1.4140625,1.41455078125]
[1.4140625,1.414306640625]
[1.4141845703125,1.414306640625]
[1.4141845703125,1.41424560546875]
[1.4141845703125,1.414215087890625]
[1.4141998291015625,1.414215087890625]
[1.41420745849609375,1.414215087890625]
[1.414211273193359375,1.414215087890625]
[1.4142131805419921875,1.414215087890625]
[1.4142131805419921875,1.41421413421630859375]
[1.4142131805419921875,1.414213657379150390625]
[1.4142134189605712890625,1.414213657379150390625]
[1.41421353816986083984375,1.414213657379150390625]
[1.41421353816986083984375,1.414213597774505615234375]
[1.41421353816986083984375,1.4142135679721832275390625]
[1.41421355307102203369140625,1.4142135679721832275390625]
[1.414213560521602630615234375,1.4142135679721832275390625]
[1.414213560521602630615234375,1.4142135642468929290771484375]
[1.414213560521602630615234375,1.41421356238424777984619140625]

$[{a_n}^2,{b_n}^2]$を$n=1$から$n=30$まで計算すると、以下のようになります。

[1.0,4.0]
[1.0,2.25]
[1.5625,2.25]
[1.890625,2.25]
[1.890625,2.06640625]
[1.9775390625,2.06640625]
[1.9775390625,2.021728515625]
[1.99957275390625,2.021728515625]
[1.99957275390625,2.0106353759765625]
[1.99957275390625,2.005100250244140625]
[1.99957275390625,2.00233554840087890625]
[1.99957275390625,2.0009539127349853515625]
[1.99957275390625,2.000263273715972900390625]
[1.99991799890995025634765625,2.000263273715972900390625]
[1.99991799890995025634765625,2.0000906325876712799072265625]
[1.99991799890995025634765625,2.000004314817488193511962890625]
[1.99996115663088858127593994140625,2.000004314817488193511962890625]
[1.9999827356659807264804840087890625,2.000004314817488193511962890625]
[1.999993525227182544767856597900390625,2.000004314817488193511962890625]
[1.99999892001869739033281803131103515625,2.000004314817488193511962890625]
[1.99999892001869739033281803131103515625,2.0000016174171832972206175327301025390625]
[1.99999892001869739033281803131103515625,2.000000268717712970101274549961090087890625]
[1.99999959436814833679818548262119293212890625,2.000000268717712970101274549961090087890625]
[1.9999999315429164425950148142874240875244140625,2.000000268717712970101274549961090087890625]
[1.9999999315429164425950148142874240875244140625,2.000000100130311153634465881623327732086181640625]
[1.9999999315429164425950148142874240875244140625,2.00000001583661290993632064783014357089996337890625]
[1.9999999736897644542210628060274757444858551025390625,2.00000001583661290993632064783014357089996337890625]
[1.999999994763188626567540495670982636511325836181640625,2.00000001583661290993632064783014357089996337890625]
[1.999999994763188626567540495670982636511325836181640625,2.00000000529990075437414276393610634841024875640869140625]
[1.999999994763188626567540495670982636511325836181640625,2.0000000000315446870013946778499303036369383335113525390625]

「$2$乗して$2$になる正の実数」の存在

※以上の証明は、藤田博司「『集合と位相』をなぜ学ぶのか」pp.67-68に書かれている「区間縮小法の原理から切断の原理を導く」を参考にしました。

デデキントの切断の原理、ワイエルシュトラス連続の原理

任意の番号$n$に対し、$a_n \in \mathbb{Q},\ b_n \in \mathbb{Q}$ですが、区間列のただ1つの共通要素である$c$は有理数ではありません。

また、集合$A,B$は

1.どの実数も$A,B$のどちらか一方だけに入る
2.$A$に属するどの数$a$も、$B$に属するどの数$b$よりも小さい$(a< b)$

（参考：藤田博司「『集合と位相』をなぜ学ぶのか」p.63）

を満たすので、$A$と$B$の組は、実数の切断であり、$A$は左組、$B$は右組となっています。

$c$は$A$の最大要素で、左組と右組の境界となっていることがわかります（「デデキントの切断の原理」の確認）。$B$の最小要素は存在しません。

下記の「デデキントキャットされました」イラストで言うところの、上（最大ねこがいる方）に相当しています。

デデキントキャット

デデキントキャットされました

一方、有理数をデデキントキャットすると…？

また、$A$は上に有界であり、$c$が$A$の上限であることもわかります（「ワイエルシュトラス連続の原理」の確認）。

補足

証明の中で
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}=0$$
を使っているので、これを示しておきます。

歩き目です性

感想

　実数の順序や演算について、きちんと勉強した記憶がなく、今回証明していても「この性質、本当に使って良いのか？」と、1つ1つ疑心暗鬼になっていたので、いつかその辺りも頑張ってみたいです。

　実数と仲良くなりたい！