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複素積分11

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今回は こちら の積分を解説します。

レイアウトとか気にかけていますが、乗っ取られてはいません。安心してください。
モチベーションは少し回復してきました。

$\displaystyle\int_0^∞\frac{\cos ax-e^{-ax}}{x(x^4+b^4)}dx=\frac{\pi}{2b^4e^{\frac{ab}{\sqrt{2}}}}\sin{\frac{ab}{\sqrt{2}}}$

解説


複素関数$\displaystyle f(z):=\frac{e^{-az}}{z(z^4+b^4)}$を次の領域で周回積分します。

複素積分を行う領域
複素積分を行う領域

ここで$\displaystyle r→0,R→∞$とします。
$\displaystyle\int_{C_1}=\int_0^∞\frac{e^{-ax}}{x(x^4+b^4)}dx \quad \displaystyle\int_{C_2}=0 \\ \displaystyle\int_{C_3}=\int_∞^0\frac{e^{-aix}}{ix\big((ix)^4+b^4\big)}\big(idx\big) \quad \displaystyle\int_{C_4}=0 $

尚、$C_2,C_4$はジョルダンの補題を用いました嘘です用いてません一切計算してませんけどどうせ0になるだろいやなってくれなきゃ困る

周回積分を求めましょう。
$\begin{eqnarray} \displaystyle\oint_C &=& 2\pi i\lim_{z\to b\sqrt{i}}\frac{e^{-az}}{z(z^4+b^4)}\big(z-b\sqrt{i}\big) \\ \displaystyle &=& 2\pi i\frac{e^{-ab\sqrt{i}}}{b\sqrt{i}・2b^2i・2b\sqrt{i}} \\ \displaystyle &=& -\frac{\pi i}{2b^4e^\frac{ab}{\sqrt{2}}}e^{-\frac{ab}{\sqrt{2}}i} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \displaystyle\therefore\int_0^∞\frac{\cos ax-e^{-ax}}{x(x^4+b^4)}dx &=& -\Re\int_{C_1+C_2+C_3+C_4} \\ \displaystyle &=& -\Re\oint_C \\ \displaystyle &=& \frac{\pi}{2b^4e^\frac{ab}{\sqrt{2}}}\sin{\frac{ab}{\sqrt{2}}} \end{eqnarray}$

投稿日:2022618

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解析学が好きです 高専4年生

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