複素積分11

複素関数${\displaystyle f(z):=\frac{e^{-az}}{z(z^4+b^4)}}$を次の領域で周回積分します。
複素積分を行う領域
ここで${\displaystyle r\to 0,R\to \infty }$とします。
$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_{C_1}={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-ax}}{x(x^4+b^4)}dx{\displaystyle {\int }_{C_2}=0}} \\ {\displaystyle {\int }_{C_3}={\int }_{\infty }^0\frac{e^{-aix}}{ix((ix{)}^4+b^4)}(idx){\displaystyle {\int }_{C_4}=0}} \end{gathered}$$

尚、$C_2,C_4$はジョルダンの補題を用いました嘘です用いてません一切計算してませんけどどうせ0になるだろいやなってくれなきゃ困る。

周回積分を求めましょう。
$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\oint }_C}& =& 2\pi i\underset{z\to b\sqrt{i}}{lim}\frac{e^{-az}}{z(z^4+b^4)}(z-b\sqrt{i})\\ {\displaystyle }& =& 2\pi i\frac{e^{-ab\sqrt{i}}}{b\sqrt{i}･2b^{2}i･2b\sqrt{i}}\\ {\displaystyle }& =& -\frac{\pi i}{2b^4{e}^{\frac{ab}{\sqrt{2}}}}{e}^{-\frac{ab}{\sqrt{2}}i}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \therefore {\int }_0^{\infty }\frac{\cos ax-e^{-ax}}{x(x^4+b^4)}dx}& =& -\mathrm{Re}{\int }_{C_1+C_2+C_3+C_4}\\ {\displaystyle }& =& -\mathrm{Re}{\oint }_C\\ {\displaystyle }& =& \frac{\pi }{2b^4{e}^{\frac{ab}{\sqrt{2}}}}\sin \frac{ab}{\sqrt{2}}\end{array}$