今日の問題(2022年6月19日)

非負の整数$n$に対し, 多項式 $p_n(z)$ を次のように定める.

$p_0(x)=1,{\displaystyle p_n(x)={(x-\frac{1}{2}\frac{d}{dx})}^n\cdot 1(n\ge 1)}$

以下の問に答えよ.

$(1)$ 次の積分を求めよ.

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(x)p_m(x)e^{-x^2}dx(n,m\ge 0).}$

$(2)$ 次の積分を $p_n(x)$ を用いて表せ.

${\displaystyle I_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{e^{x^2-z^2}}{(z-x{)}^{n+1}}dz}$

ただし, $\mathrm{\Gamma }$ は, 複素平面上の閉曲線 $|z-x|=r(r>0)$ を半時計回りに一周する積分路とする.

$(3)$ 多項式列 $\{p_n(x){\}}_{n\ge 0}$ を生成する母関数 ${\displaystyle G(x,t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(x)\frac{t^n}{n!}}$ を求めよ.

$(4)$ 次の恒等式を示せ.

${\displaystyle p_n(x+y)=\sum _{\begin{array}{c}j,k,l\ge 0\\ j+k+2l=n\end{array}}\frac{1}{4^l}\frac{n!}{j!k!l!}{p}_j(x)p_k(y).}$

2020年度東京大学大学院数理科学研究科　専門科目B第15問