今日の問題(2022年6月19日)

非負の整数$n$に対し, 多項式 $p_n(z)$ を次のように定める.

$p_0(x)=1,\,\displaystyle p_n(x)=\left(x-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\right)^n\cdot 1\quad(n\geq 1)$

以下の問に答えよ.

$(1) $ 次の積分を求めよ.

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}p_n(x)p_m(x)e^{-x^2}\,dx\quad(n,m\geq0).$

$(2) $ 次の積分を $p_n(x)$ を用いて表せ.

$\displaystyle I_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma}\frac{e^{x^2-z^2}}{(z-x)^{n+1}}\,dz$

ただし, $\Gamma$ は, 複素平面上の閉曲線 $|z-x|=r (r>0)$ を半時計回りに一周する積分路とする.

$(3) $ 多項式列 $\{p_n(x)\}_{n\geq0}$ を生成する母関数 $\displaystyle G(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}p_n(x)\frac{t^n}{n!}$ を求めよ.

$(4) $ 次の恒等式を示せ.

$\displaystyle p_n(x+y)=\sum_{\substack{j,k,l\geq0\\ j+k+2l=n}}\frac{1}{4^l}\frac{n!}{j!k!l!}p_j(x)p_k(y).$

2020年度東京大学大学院数理科学研究科　専門科目B第15問