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ちょっと変わった複素積分のテクニック

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$$\newcommand{abs}[1]{\left |#1\right |} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{Fourier}[2]{\mathcal{F}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Hartley}[2]{\mathcal{H}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Hilbert}[2]{\mathcal{Hil}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{inttrans}[3]{\mathcal{#1}_{#2}\left [#3\right ]} \newcommand{invtrans}[3]{\mathcal{#1}^{-1}_{#2}\left [#3\right ]} \newcommand{Laplace}[2]{\mathcal{L}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{Mellin}[2]{\mathcal{M}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{Res}[1]{\underset{#1}{\operatorname{Res}}} \newcommand{tLaplace}[2]{\mathcal{B}_{#1}\left [#2\right ]} \newcommand{Weierstrass}[2]{\mathcal{W}_{#1}\left [#2\right ]} $$

今回は軽めに、積分計算のときに、僕がたまに使うテクニックを紹介します。やることは、以下の変形です。
$$ \begin {aligned} 1&=\frac {1}\pi \Im \left (\ln x+\pi i\right )\\ 1&=\frac {2}{\pi }\Im \left (\ln x+\frac {\pi i}2\right ) \end {aligned} $$
一見何の意味もなさそうですが、状況によってはこれが刺さる場合があるんです。一つ目の場合の例を紹介します。
$$ \begin {aligned} \int _{0}^{\infty }\frac {\ln (1+x)}{1+x^{2}}dx&=\frac {1}\pi \Im \int _{0}^{\infty }\frac {\left (\ln x+\pi i\right )\ln (1+x)}{1+x^{2}}dx\\ &=\frac {1}\pi \Im \int _{-0i}^{\infty -0i}\frac {\ln \left (-x\right )\ln (1+x)}{1+x^{2}}dx\\ &=\frac {1}\pi \Im \left (-2\pi i\Res{z=-i}\frac {\ln (-z)\ln (1+z)}{1+z^{2}}-\int _{-\infty -0i}^{-0i}\frac {\ln (-x)\ln (1+x)}{1+x^{2}}dx\right )\quad \left (\because 留数定理,下半平面で半円経路\right )\\ &=\frac {1}\pi \Im \left (-2\pi i\frac {\ln i\ln (1-i)}{-2i}-\int _{0}^{1}\frac {\ln x\ln (1-x)}{1+x^{2}}dx-\int _{1}^{\infty }\frac {\ln x\left (\ln (x-1)-\pi i\right )}{1+x^2}dx\right )\\ &=\Im \left (\frac {\pi }2i\left (\frac {\ln 2}2-\frac {\pi i}4\right )\right )-0+\int _{1}^{\infty }\frac {\ln x}{1+x^{2}}dx\\ &=\frac {\pi \ln 2}4+\int _{0}^{1}\frac {\ln \frac {1}{x}}{1+x^{2}}dx\\ &=\frac {\pi \ln 2}4+\sum _{n=0}^\infty (-1)^n\int _{0}^{1}x^{2n}\ln \frac {1}xdx\\ &=\frac {\pi \ln 2}4+\sum _{n=0}^\infty \frac {(-1)^n}{(2n+1)^{2}}\\ &=\frac {\pi \ln 2}4+\beta (2) \end {aligned} $$
被積分関数にある扱いにくい部分($\ln (1+x)$など)を、うまく実部・虚部に落としこんで、扱いやすいもの($\ln(x)$など)に変換きるということです。以上です。

投稿日:2022620

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便利
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引き算が苦手です

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