大学数学基礎問題

かんたんめな位相空間論の演習問題を思いついたので書きます

位相空間論

398

どうも

　こんにちは　ごててんです　早速作った問題を貼ります（おそらく10000番煎じくらいの問題ですが）

　 $X$ を元の数が $n \geq 3$ の有限集合, $(X, O)$ を位相空間とするとき, 次が成立することを示せ.

離散位相でないなら, $| O | \leq 2^{n} - n + 1$ .

解答は下に......

　解答を貼ります！おそらくいろいろな解き方がありますが私が思いついたものを書きます

　 $X$ のべき集合 $2^{X}$ の元の個数は $2^{n}$ であるので, 開集合とならない部分集合を $n - 1$ 個挙げればよい.

　離散位相でないので, 開集合でない ${a}$ $(a \in X)$ が取れる. さて, ${a, b}$ $(b \in X, a \neq b)$ の形の開集合が1つも無ければその時点で開集合とならないものが $1 + (n - 1) = n$ 個とれていることになり正しい. ${a, b}$ $(b \in X, a \neq b)$ の形の開集合が $2$ つ以上とれたとする. すると, その共通部分も開集合であるはずだがそれは ${a}$ . よって ${a, b}$ $(b \in X, a \neq b)$ の形の開集合は存在しても $1$ 個のみであり, ここから開集合でないものが少なくとも $1 + (n - 2) = n - 1$ 個あるとわかる.