かんたんめな位相空間論の演習問題を思いついたので書きます

　$X$のべき集合$2^X$の元の個数は$2^n$であるので, 開集合とならない部分集合を$n-1$個挙げればよい.

　離散位相でないので, 開集合でない$\{a\}$$(a \in X)$が取れる. さて, $\{a,b\}$$(b \in X, a \ne b)$の形の開集合が1つも無ければその時点で開集合とならないものが$1+(n-1)=n$個とれていることになり正しい. $\{a,b\}$$(b \in X, a \ne b)$の形の開集合が$2$つ以上とれたとする. すると, その共通部分も開集合であるはずだがそれは$\{a\}$. よって$\{a,b\}$$(b \in X, a \ne b)$の形の開集合は存在しても$1$個のみであり, ここから開集合でないものが少なくとも$1+(n-2)=n-1$個あるとわかる.