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因数分解型のHenselの補題

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はじめに

　この記事ではHenselの補題のある種の一般化について解説していきます。
　ここで可換環 $R^{'}$ の元 $a, b$ が互いに素であるとは、ある $x, y \in R^{'}$ が存在して $a x + b y = 1$ が成り立つことを言うものとします( $a R^{'} + b R^{'} = R^{'}$ とも言い換えられる)。

Henselの補題

　可換環 $R$ 上の多項式 $f \in R [x]$ が、 $R$ のイデアル $I$ において
$f \equiv \overset{―}{g} \overset{―}{h} (\mod I) (\overset{―}{g}, \overset{―}{h} \in (R / I) [x] は互いに素)$
と因数分解され、 $\overset{―}{g}$ の最高次の係数が可逆であるとき
$\begin{aligned} g_{0} & \equiv \overset{―}{g} (\mod I), & g_{n} & \equiv g_{n - 1} (\mod I^{n}) \\ h_{0} & \equiv \overset{―}{h} (\mod I), & h_{n} & \equiv h_{n - 1} (\mod I^{n}) \end{aligned}$
および $\deg g_{n} = \deg \overset{―}{g}$ を満たすような多項式の列 $g_{n}, h_{n} \in R [x]$ が存在して
$f \equiv g_{n} h_{n} (\mod I^{n + 1})$
が成り立つ。

　この $g_{n}, h_{n}$ の極限、つまり逆極限 ${\lim_{\leftarrow}}_{n} (R / I^{n}) [x]$ の世界を考えることで次の様な主張が成り立ちます。

完備離散付値環上のHenselの補題

　完備離散付値環 $A$ 上の多項式 $f \in A [x]$ が剰余体 $A / p$ において
$f \equiv \overset{―}{g} \overset{―}{h} (\mod p) (\overset{―}{g}, \overset{―}{h} \in (A / p) [x] は互いに素)$
と因数分解されるとき
$g \equiv \overset{―}{g} (\mod p), h \equiv \overset{―}{h} (\mod p)$
および $\deg g = \deg \overset{―}{g}$ を満たすような多項式 $g, h \in A [x]$ が存在して
$f = g h$
が成り立つ。

補題

　 $R$ を可換環、 $I$ をそのイデアルとする。このとき $a \in R$ が $R / I$ において可逆であれば $R / I^{n}$ においても可逆である。

　仮定よりある $b \in R, γ \in I$ があって $a b = 1 - γ$ が成り立つ。このとき
$c = b (1 + γ + γ^{2} + \dots + γ^{n - 1})$
とおくと
$a c = (1 - γ) (1 + γ + γ^{2} + \dots + γ^{n - 1}) = 1 - γ^{n}$
となるので $γ^{n} \in I^{n}$ より
$a c \equiv 1 (\mod I^{n})$
を得る。

除法の原理

　 $R$ を可換環、 $g \in R [x]$ をその最高次数の係が可逆な多項式とする。
　このとき任意の $f \in R [x]$ に対し
$f = q g + r (\deg r < \deg g)$
を満たすような多項式 $q, r \in R [x]$ が一意に存在する。
　また $I$ を $R$ のイデアルとすると、 $f \in I [x]$ ならば $q, r \in I [x]$ が成り立つ。

存在性

　 $\deg f < \deg g$ のときは明らか。いま $\deg f \geq \deg g$ において
$\begin{aligned} f & = a x^{n} + a^{'} x^{n - 1} + \dots \\ g & = b x^{m} + b^{'} x^{m - 1} + \dots \end{aligned}$
と展開すると
$f^{'} = f - a b^{- 1} x^{n - m} g$
は $\deg f^{'} < \deg f$ を満たすので、 $f^{'}$ に対し同様の操作を繰り返し $f$ の次数を下げていくことで
$r = f - q g$
が $\deg r < \deg g$ を満たすような多項式 $q$ が取れる。
　またこの構成法から $f \in I [x]$ なら $q, r \in I [x]$ とできることに注意する。

一意性

$f = q g + r = q^{'} g + r^{'}$
と表せるとき
$r - r^{'} = - (q - q^{'}) g$
および $\deg (r - r^{'}) < \deg g$ より $q = q^{'}$ でなければならず、したがって $r = r^{'}$ となることもわかる。

本題

　いま多項式 $a, b, g_{0}, h_{0} \in R [x]$ を
$g_{0} \equiv \overset{―}{g}, h_{0} \equiv \overset{―}{h}, a g_{0} + b h_{0} \equiv 1 (\mod I)$
および $\deg g_{0} = \deg \overset{―}{g}$ を満たすように任意に取る。
　このときHenselの補題の主張のような $g_{n}, h_{n}$ が構成できたとして、 $g_{n + 1}, h_{n + 1}$ の構成法について考える。

　 $f_{n} = f - g_{n} h_{n}$ および
$g_{n + 1}^{'} = g_{n} + b f_{n}, h_{n + 1}^{'} = h_{n} + a f_{n}$
とおくと
$f \equiv g_{n + 1}^{'} h_{n + 1}^{'} (\mod I^{n + 2})$
が成り立つ。

$f_{n} \equiv 0 (\mod I^{n + 1}), a g_{n} + b h_{n} \equiv 1 (\mod I)$
に注意すると
$\begin{aligned} f - g_{n + 1}^{'} h_{n + 1}^{'} & = (f_{n} + g_{n} h_{n}) - (g_{n} + b f_{n}) (h_{n} + a f_{n}) \\ = f_{n} (1 - a g_{n} - b h_{n}) + a b f_{n}^{2} \\ \equiv 0 (\mod I^{n + 2}) \end{aligned}$
を得る。

　いま補題3より $g_{0}$ の最高次の係数は $R / I^{n + 2}$ において可逆なので、除法の原理より
$b f_{n} \equiv q_{n} g_{0} + r_{n} (\mod I^{n + 2})$
および $\deg r_{n} < \deg g_{n} = \deg \overset{―}{g}$ なる $q_{n}, r_{n} \in R [x]$ が存在することに注意する。

　上のような $q_{n}, r_{n}$ に対し
$s_{n} \equiv a f_{n} + q_{n} h_{0} (\mod I^{n + 2})$
なる多項式 $s_{n} \in R [x]$ を任意に取り
$g_{n + 1} = g_{n} + r_{n}, h_{n + 1} = h_{n} + s_{n}$
とおくとこれはHenselの補題の主張を満たす。

　 $\deg r_{n} < \deg g_{n}$ より
$\deg g_{n + 1} = \deg g_{n} = \deg \overset{―}{g}$
が成り立ち、また
$g_{n + 1} \equiv g_{n + 1}^{'} - q_{n} g_{0}, h_{n + 1} \equiv h_{n + 1}^{'} + q_{n} h_{0} (\mod I^{n + 2})$
および $q_{n} \in I^{n + 1} [x]$ に注意すると
$f - g_{n + 1} h_{n + 1} \equiv f - g_{n + 1}^{'} h_{n + 1}^{'} \equiv 0 (\mod I^{n + 2})$
を得る。

命題6

　 $\deg (f - g_{0} h_{0}) < \deg f$ であれば $\deg h_{n} = \deg h_{0}$ とできる。

　 $\deg s_{n} < \deg h_{0}$ とできることを示せばよい。いま $\deg s_{n - 1} < \deg h_{0}$ とできたとする。このとき
$\deg f_{n} = \deg (f - g_{n} h_{n}) < \deg f$
が成り立つことに注意する。
　ここで
$f_{n} \equiv (a g_{0} + b h_{0}) f_{n} \equiv s_{n} g_{0} + r_{n} h_{0} (\mod I^{n + 2})$
より $s_{n}$ は
$\deg s_{n} = \deg (f_{n} - r_{n} h_{0}) - \deg g_{0}$
を満たすように取れ、このとき
$\begin{aligned} \deg f_{n} & < \deg f \\ \deg (r_{n} h_{0}) & < \deg (g_{0} h_{0}) = \deg f \end{aligned}$
に注意すると
$\deg s_{n} < \deg f - \deg g_{0} = \deg h_{0}$
を得る。

一意性について

　実はこの多項式 $g_{n}, h_{n}$ は $I^{n + 1}$ を法として一意に定まっている(ただし ${g_{n}}$ の最高次の係数は常に変わらないものとする)。

　多項式 $g, g^{'}, h, h^{'} \in R [x]$ が
$\begin{aligned} f & \equiv g h \equiv g^{'} h^{'} (\mod I^{n}) \\ g & \equiv g^{'} \equiv \overset{―}{g} (\mod I) \\ h & \equiv h^{'} \equiv \overset{―}{h} (\mod I) \end{aligned}$
および
$\deg (g - g_{0}), \deg (g^{'} - g_{0}) < \deg \overset{―}{g}$
を満たすならば
$g \equiv g^{'}, h \equiv h^{'} (\mod I^{n})$
が成り立つ。

　 $n - 1$ のときに主張が成り立つと仮定し、 $n$ の場合を示す( $n = 1$ の時は明らか)。
$δ_{g} = g - g^{'}, δ_{h} = h - h^{'}$
とおくと帰納法の仮定より
$δ_{g} \equiv δ_{h} \equiv 0 (\mod I^{n - 1})$
が成り立つことに注意すると
$\begin{aligned} 0 & \equiv g h - g^{'} h^{'} \\ = g δ_{h} + δ_{g} h^{'} \\ \equiv \overset{―}{g} δ_{h} + δ_{g} \overset{―}{h} (\mod I^{n}) \end{aligned}$
となるので、 $a \overset{―}{g} + b \overset{―}{h} \equiv 1 (\mod I)$ と合わせて
$\begin{aligned} δ_{g} & \equiv δ_{g} (a \overset{―}{g} + b \overset{―}{h}) \equiv (a δ_{g} - b δ_{h}) \overset{―}{g} (\mod I^{n}) \\ δ_{h} & \equiv δ_{h} (a \overset{―}{g} + b \overset{―}{h}) \equiv - (a δ_{g} - b δ_{h}) \overset{―}{h} (\mod I^{n}) \end{aligned}$
と変形できる。
　また $\deg δ_{g} \leq \deg \overset{―}{g}$ より除法の原理の一意性から
$(a δ_{g} - b δ_{h}) \equiv 0 (\mod I^{n})$
でなければならず、したがって
$δ_{g} \equiv δ_{h} \equiv 0 (\mod I^{n})$
を得る。