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そういえば, 昔求めた級数で, 煩雑すぎてあまり見せられないようなものがあったので, ここに載せておきます. (俗に言う, 供養というやつです.)
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$$ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{n!(2n)!}{(3n)!}\frac1{\big(x(x-1)^2\big)^n}=\frac{x(x-1)}{(3x-1)^3}\Bigg\{\frac{2(9x^2-6x-2)\arctan\frac{\sqrt{x(3x-4)}}{x(2x-3)}}{(3x-4)\sqrt{x(3x-4)}}-3\log\frac x{x-1}+\frac{27(x-1)(3x-1)}{3x-4}\Bigg\}$$
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収束範囲は $\displaystyle\frac32 < x $ くらいだと思います.
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$x=2$とすると, 以下の面白い結果を得ます.
$$ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n\binom{3n}{n}}=\frac3{5^3}\Big(\frac{11}6π-2\log2+45\Big)$$
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