${}$

そういえば, 昔求めた級数で, 煩雑すぎてあまり見せられないようなものがあったので, ここに載せておきます. (俗に言う, 供養というやつです.)
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<div style=" padding: 0.2em 0.5em;
    margin: 2em 0;
    color: #565656;
    background: #ffeaea;
    box-shadow: 0px 0px 0px 10px #ffeaea;
    border: dashed 2px #ffc3c3;
    border-radius: 8px;">$$\TextCenter \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{n!(2n)!}{(3n)!}\frac1{\big(x(x-1)^2\big)^n}=\frac{x(x-1)}{(3x-1)^3}\Bigg\{\frac{2(9x^2-6x-2)\arctan\frac{\sqrt{x(3x-4)}}{x(2x-3)}}{(3x-4)\sqrt{x(3x-4)}}-3\log\frac x{x-1}+\frac{27(x-1)(3x-1)}{3x-4}\Bigg\}$$
     </div>
${}$

収束範囲は $\displaystyle\frac32 < x $ くらいだと思います.
${}$

$x=2$とすると, 以下の面白い結果を得ます.

<div style=" padding: 0.2em 0.5em;
    margin: 2em 0;
    color: #565656;
    background: #ffeaea;
    box-shadow: 0px 0px 0px 10px #ffeaea;
    border: dashed 2px #ffc3c3;
    border-radius: 8px;">$$\TextCenter \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n\binom{3n}{n}}=\frac3{5^3}\Big(\frac{11}6π-2\log2+45\Big)$$</div>
${}$




煩雑な級数

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