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解説大学数学以上
文献あり

類等式をいっぱい見ようのコーナー

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どうも

 こんにちは ごててんです

 最近c++で有限群を実装して遊んでいまして, 類等式をコンピュータの恐るべき計算力で直接求めさせていました. せっかくなので求めた類等式をまとめたいと思います.

対称群の類等式

$S_3 : 6 = 1 + 3 + 2 $
$S_4 : 24 = 1 + 6 + 8 + 3 + 6 $
$S_5 : 120 = 1 + 10 + 20 + 15 + 30 + 20 + 24 $
$S_6 : 720 = 1 + 15 + 40 + 45 + 90 + 120 + 144 + 15 + 90 + 40 + 120 $
$S_7 : 5040 = 1 + 21 + 70 + 105 + 210 + 420 + 504 + 105 + 630 + 280 + 840 + 210 + 504 + 420 + 720 $

交代群の類等式

$A_3 : 3 = 1 + 1 + 1 $
$A_4 : 12 = 1 + 4 + 4 + 3 $
$A_5 : 60 = 1 + 20 + 15 + 12 + 12 $
$A_6 : 360 = 1 + 40 + 45 + 72 + 72 + 90 + 40 $
$A_7 : 2520 = 1 + 70 + 105 + 504 + 630 + 280 + 210 + 360 + 360 $

二面体群の類等式

$D_4 : 4 = 1 + 1 + 1 + 1 $
$D_6 : 6 = 1 + 2 + 3 $
$D_8 : 8 = 1 + 2 + 1 + 2 + 2 $
$D_{10} : 10 = 1 + 2 + 2 + 5 $
$D_{12} : 12 = 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 3 $
$D_{14} : 14 = 1 + 2 + 2 + 2 + 7 $
$D_{16} : 16 = 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 4 + 4 $
$D_{18} : 18 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 9 $
$D_{20} : 20 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 5 + 5 $
$D_{22} : 22 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 11 $
$D_{24} : 24 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 6 + 6 $
$D_{26} : 26 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 13 $
$D_{28} : 28 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 7 + 7 $
$D_{30} : 30 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 15 $

一般四元数群の類等式

$Q_{8} : 8 = 1 + 2 + 1 + 2 + 2 $
$Q_{12} : 12 = 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 3 $
$Q_{16} : 16 = 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 4 + 4 $
$Q_{20} : 20 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 5 + 5 $
$Q_{24} : 24 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 6 + 6 $
$Q_{28} : 28 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 7 + 7 $
$Q_{32} : 32 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 8 + 8 $
$Q_{36} : 36 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 9 + 9 $
$Q_{40} : 40 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 10 + 10 $

直積を取ってみたり

$S_3 \times D_{6}:36 = 1 + 3 + 2 + 2 + 6 + 4 + 3 + 9 + 6 = (1+3+2)(1+2+3)$

$D_8 \times D_6 :48 = 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 + 2 + 4 + 4 + 3 + 6 + 3 + 6 + 6 = (1 + 2 + 1 + 2 + 2)(1+2+3)$

$D_8 \times Q_8 : 64 = 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 + 2 + 4 + 4 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 4 + 2 + 4 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 4 = (1 + 2 + 1 + 2 + 2)( 1 + 2 + 1 + 2 + 2 )$

$S_3 \times S_3:36= 1 + 3 + 2 + 3 + 9 + 6 + 2 + 6 + 4 = (1+3+2)(1+3+2)$

$S_3 \times S_4: 144 = 1 + 3 + 2 + 6 + 18 + 12 + 8 + 24 + 16 + 3 + 9 + 6 + 6 + 18 + 12 = (1+3+2)(1+6+8+3+6)$

$S_3 \times A_4: 72 = 1 + 3 + 2 + 4 + 12 + 8 + 4 + 12 + 8 + 3 + 9 + 6 = (1+3+2)(1+4+4+3)$

$A_4 \times A_4: 144 = 1 + 4 + 4 + 3 + 4 + 16 + 16 + 12 + 4 + 16 + 16 + 12 + 3 + 12 + 12 + 9 = (1 + 4 + 4 + 3)(1 + 4 + 4 + 3)$

$S_3 \times S_3 \times S_3: 216 = 1 + 3 + 2 + 3 + 9 + 6 + 2 + 6 + 4 + 3 + 9 + 6 + 9 + 27 + 18 + 6 + 18 + 12 + 2 + 6 + 4 + 6 + 18 + 12 + 4 + 12 + 8 = (1+3+2)(1+3+2)(1+3+2)$

その他

$(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2)\rtimes_{\phi} \mathbb{Z}_2 : 16 = 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2$
$\phi(0)$は恒等写像, $\phi(1)$$(-1)$倍写像

 

色々類等式を求めたことで, 何かが満たされた感じがします ここまで見ていただきありがとうございました~~~~~~

参考文献

投稿日:202271

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