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大学数学基礎解説
文献あり

ヘルダーの不等式、ミンコフスキーの不等式<関数解析のお勉強>

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付録A ヘルダーの不等式、ミンコフスキーの不等式

 本書は現在(2022/7/7開始)執筆中の「関数解析のお勉強」の切り抜きです。
頻出する距離空間の三角不等式の証明によく登場する不等式の本質を紹介します。

ミンコフスキーの不等式

(an),(bn)lp : 実数p (1)条件i=1|xi|p<を満たす数列f,gC[a,b] :区間[a,b]上連続な関数
この時、以下の不等式が成り立つ。
 (1) (級数型)
(i=1|ai+bi|p)1p(i=1|ai|p)1p+(i=1|bi|p)1p
 (2) (積分型)
(ab|f(x)+g(x)|pdx)1p(ab|f(x)|pdx)1p+(ab|g(x)|p)1p

符号を除くと、左辺は関数空間の要素間の距離、右辺が各要素の大きさになっているため、関数空間上での三角不等式に相当することが確かめられます。

ミンコフスキーの不等式の補題として、以下のヘルダーの不等式を使います。

(狭義の)ヘルダーの不等式

正の実数p,qが条件1p+1q=1を満たすとき、以下の不等式が成り立つ。
 (1) (級数型)
i=1|aibi|(i=1|ai|p)1p(i=1|bi|q)1q
 (2) (積分型)
ab|f(x)+g(x)|pdx(ab|f(x)|pdx)1p(ab|g(x)|qdx)1q

条件1p+1q=1を見て「重さ付きの和かな?」と考えた人は鋭いです。証明の本質は凸不等式です。

 距離空間やヒルベルト空間で最頻出なのは、数列の空間であるlp空間や、関数の空間であるLp空間です。要素f,g同士の自然な距離として|fg|p乗和(積分)のp乗根を採用すると、距離空間の公理を満たします。特に三角不等式に相当するものをミンコフスキーの不等式と言います。この不等式を事実として認めて理論を構築するのも良いですが、関数解析の計算練習として頭と手を動かす価値がある問題だと考えてます。
 
 ミンコフスキーの不等式の補題として(狭義の)ヘルダーの不等式が使われます。一見複雑に見えて、実は証明の本質はめっちゃシンプルです。根幹は凸不等式(正確には重さ付き相加相乗不等式)であることを見抜くのが重要です。本書を読み、「何だこりゃ、見掛け倒しじゃん!」って思ってもらえれば嬉しい限りです。

重さ付き相加相乗不等式

 本書の最も根幹になる部分です。

重さ付き相加相乗不等式

 非負実数a1,an、重さw1,wnに対して、以下の不等式が成立する。
i=1naiwii=1nwiai
(頻出型)非負実数a,b0t1なる実数に対して、以下が成立する。
atb(1t)ta+(1t)b

総和が1になる非負実数w1,wnのことを重さと呼びます。

 不等式は多岐に渡りますが、一般の数でも直接使える不等式評価はせいぜい凸性ぐらいだと思います。有名不等式の証明の最初の一手は、数や関数を組み合わせて、与えられた状況を再現する凸式を組み立てることが多いです。証明は両辺対数をとって凸不等式を使えば良いです。対数関数が上に凸なので、線分よりも関数が上側に来ます。詳細な証明は参考文献[2]に譲ります。

ヘルダーの不等式(積分型)の証明

級数型も同様に証明できるので、積分型の紹介のみに留めます。

atb(1t)ta+(1t)bを軸に証明

atb(1t)ta+(1t)bt=1p,1t=1qを代入すると、
a1pb1q1pa+1qb
ヘルダーの不等式を再現するため、やや技巧的だが、
a=|f(x)|p(ab|f(x)|pdx), b=|g(x)|q(ab|g(x)|qdx)
を代入すると、
a1pb1q=|f(x)|(ab|f(x)|pdx)1p×|g(x)|(ab|g(x)|qdx)1q1p|f(x)|p(ab|f(x)|pdx)+1q|g(x)|q(ab|g(x)|qdx)
両辺を[a,b]で積分して、
ab|f(x)g(x)|dx(ab|f(x)|pdx)1p(ab|g(x)|qdx)1q1pab|f(x)|p(ab|f(x)|pdx)+1qab|g(x)|qdx(ab|g(x)|qdx)=1p+1q=1ab|f(x)g(x)|dx(ab|f(x)|pdx)1p(ab|g(x)|qdx)1q

ミンコフスキーの不等式(積分型)の証明

級数型も同様に証明できるので(以下略))。

1p+1q=1(p1) q=pを活かす

h(x)=f(x)+g(x)とすると、h(x)p=h(x)p1f(x)+h(x)p1g(x)
ヘルダーの不等式を二つ目の不等式に使用する。
ab|h(x)|pdxab|h(x)|p1|f(x)|dx+ab|h(x)|p1|g(x)|dx(ab|h(x)p1|qdx)1q[(ab|f(x)|pdx)1p+(ab|g(x)|pdx)1p]

(p1) q=pより、
(ab|h(x)p1|qdx)1q=(ab|h(x)|pdx)1q=[(ab|h(x)|pdx)1p] p1

先ほどの不等式に代入し、
ab|h(x)|pdx[(ab|h(x)|pdx)1p] p1×[(ab|f(x)|pdx)1p+(ab|g(x)|pdx)1p](ab|f(x)+g(x)|pdx)1p(ab|f(x)|pdx)1p+(ab|g(x)|p)1p

参考文献

投稿日:202278
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noho1024
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専攻は物理学です。 有機化学、物性理論、確率数理、場の量子論の勉強を経て、科学の面白さを世に広める活動をしていきたいと思っています。

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  1. 付録A ヘルダーの不等式、ミンコフスキーの不等式
  2. 重さ付き相加相乗不等式
  3. ヘルダーの不等式(積分型)の証明
  4. ミンコフスキーの不等式(積分型)の証明
  5. 参考文献