素数と2次形式
動機
素数$p$を表現する正定値二次形式$x^2+ny^2=p$の
$x$と$y$を求める公式を作りたい。
$x^2+y^2$と$x^2+2y^2$の場合の公式を求めました。
準備
$A$を可換環
$A^{ \times }$は$A$の単元群
$B$を$A$加群
$B$は$A$加群として次の分裂完全列が存在する。
$$0 \xrightarrow{} A \xrightarrow{i} B \xrightarrow{p} C \xrightarrow{} 0$$
分裂完全列が持つ性質
$\ \ \ t:B\xrightarrow{}A$を$ti=id_A$満たす全射
$ \ \ \ l:C\xrightarrow{}B$を$pl=id_C$を満たす単射
$B$は有限集合
$G$を$B$の$A$加群自己同型群の部分群
$g \in G$
$I_g:=t(g(l(C)))$は$A$のイデアル
$G$は次の性質を満たすとする。
$I_g=0$ならば、$ g=aId_B$ $(a\in A^{ \times })$
$I_g \neq 0$ならば、$ t(g(i(1_A))) \in I_g$
$ A:=\mathbb{F_q} $
$ B:=\mathbb{F_{q^n}} $
$G$を$B$の乗法部分群
$n$と$q$は互いに素
$i$として、$\mathbb{F_q}$の包含をとり、
$t$として、$\frac{Tr(x)}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} x^{p^k}$
$p(b):=b-t(b)$
$C:=p(B)$
$B=A \oplus C$
$t(xy)$は$B$で非退化対称形式
$t(p(x)p(y))$も$C$で非退化
すべての$y\in C$で$t(p(x)p(y))=0$なら$p(x)=0$
$p(g)\neq 0$ならば ある$b\in B$で$t(p(g)p(b))\neq 0$ より$I_g=A$
$t(g(i(1_A)))=t(g) \in A$
$p(g)=0$ならば$g\in A$
$ \widehat{\theta}:A^{\times} \xrightarrow{} \mathbb{C}^\times $は非自明群準同型
$\theta:A \xrightarrow{} \mathbb{C}$
$\theta(a):=0 \ \ \ a\in A-A^\times$
$\theta(a):=\widehat{\theta}(a) \ \ \ a\in A^\times$
$aId_B \in A^{\times}Id_B \cap G$ならば$\theta(a)=1$
$$\alpha^{'}(b):=\sum_{g(A^{\times}Id_B \cap G)\in G/(A^{\times}Id_B \cap G)}\theta(t(g(b)))$$
$$|C|=\sum_{bA^{\times}Id_BG\in B/(A^{\times}Id_BG)}|\alpha^{'}(b)|^2$$
$$\alpha(b):=\sum_{g\in G}\theta(t(g(b)))$$
$\theta(a)$の準同型性、$g$の$A$準同型性より
$a \in A^{\times}$なら
$$\alpha(ab)=\sum_{g\in G}\theta(t(g(ab)))=\theta(a)\alpha(b)$$
$$|\alpha(ab)|^2=|\alpha(b)|^2$$
$\theta(a)$の定義より
$aId_B \in A^{\times}Id_B \cap G$なら
$$\alpha(ab)=\sum_{g\in G}\theta(t(g(ab)))=\alpha(b)$$
$$\alpha(b)=|A^{\times}Id_B \cap G|\alpha^{'}(b)$$
$\alpha(b)$の定義より
$g\in G$
$$\alpha(g(b))=\alpha(b)$$
$$\sum_{a_g \in I_g}{\theta(t(g(i(1_A))+a_g)} =\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
1 \ \ (I_g= 0) \\
0 \ \ (I_g\neq 0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
$I_g =0$ ならば
$G$の定義２から
$a \in A^\times$ $g=aId_B$
$\theta(a)$の定義から$\theta(a)=1$
$I_g \subsetneqq A$ならば
$t(g(i(1_A))\in I_g$および$I_g \cap A^\times= \phi $より
$\theta(I_g)= \lbrace 0 \rbrace $
$I_g=A$ ならば
$\widehat{\theta}$の非自明性より、
ある$a_1\in A^{\times}$で$\theta(a_1)\neq 1$
$a_1A=A$から
$$\sum_{a \in A}{\theta(t(g(i(1_A))+a)} =\sum_{a \in A}{\theta(a)}=\sum_{a \in A}{\theta(a_1a)}$$
$$0=(1-\theta(a_1))\sum_{a \in A}{\theta(a)}$$
$$0=\sum_{a \in A}{\theta(a)}$$
$$\sum_{b \in B/G}|\alpha(b)|^2=\frac{|A^{\times}|}{|A^{\times}Id_B \cap G|}\sum_{bA^{\times}Id_BG\in B/(A^{\times}Id_BG)}|\alpha(b)|^2 \\ =|A^{\times}||A^{\times}Id_B \cap G|\sum_{bA^{\times}Id_BG\in B/(A^{\times}Id_BG)}|\alpha^{'}(b)|^2$$
$$\sum_{b \in B/G}|\alpha(b)|^2=\sum_{b \in B/G}\sum_{g,g'\in G} \overline{t(\theta(g'(b)))}\theta(t(g(b))) \\ =\sum_{b \in B}\sum_{g \in G}\overline{\theta(t(b))}\theta(t(g(b))) \ \ \ (b=it(b)+lp(b),t(b)=a,p(b)=c)\\ =\sum_{a \in A}\sum_{c \in C}\sum_{g \in G}\overline{\theta(a)}\theta(t(g(ai(1_A)+l(c)))) \ \ \ (a \in A-A^\times,\theta(a)=0)\\ =\sum_{a \in A^\times}\sum_{c \in C}\sum_{g \in G}\overline{\theta(a)}\theta(t(g(ai(1_A)+l(c)))) \ \ \ \\ =\sum_{a \in A^\times}\sum_{c \in C}\sum_{g \in G}\theta(t(g(i(1_A)+l(a^{-1}c)))) \ \ \ (CはA加群) \\ =|A^\times|\sum_{c \in C}\sum_{g \in G}\theta(t(g(i(1_A)))+t(g(l(c))))\\=|A^\times|\sum_{g \in G}\frac{|C|}{|I_g|}\sum_{a_g \in I_g}{\theta(t(g(i(1_A))+a_g)} \ \ \ (補題I_gの性質より) \\ =|A^\times|\sum_{g \in A^\times Id_B \cap G}|C| =|A^\times||A^\times Id_B \cap G||C| $$
$$\sum_{b \in B/G}|\alpha(b)|^2=|A^{\times}||A^{\times}Id_B \cap G|\sum_{bA^{\times}Id_BG\in B/(A^{\times}Id_BG)}|\alpha^{'}(b)|^2=|A^\times||A^\times Id_B \cap G||C|$$
$$|C|=\sum_{bA^{\times}Id_BG\in B/(A^{\times}Id_BG)}|\alpha^{'}(b)|^2$$
具体例
例1の続き
$p$を$4$で割って$1$余る素数
$ A:=\mathbb{F_p} $
$ B:=\mathbb{F_{p^2}} $
$G:= \lbrace b \in B| b^{p+1}=1 \rbrace $
$\theta(a):=(\frac{a}{p})$
$(\frac{a}{p})$はルジャンドル記号
$A^\times \cap G=\lbrace \pm 1 \rbrace$
$\theta(\pm1)=1$
$M \in A$を$\theta(M)=-1$とする。
${G}/{\lbrace \pm 1 \rbrace} \simeq \lbrace b \in B| b^{\frac{p+1}{2}}=1 \rbrace $
$B/(A^\times G)\simeq\lbrace 0,1,\sqrt{M} \rbrace $
$\alpha'(b)$はルジャンドル記号の整数性より整数
$\alpha'(0)=0$
$p=|C|=\alpha'(0)^2+\alpha'(1)^2+\alpha'(\sqrt{M})^2=\alpha'(1)^2+\alpha'(\sqrt{M})^2$
例1の続き
$p$を$8$で割って$3$余る素数
$ A:=\mathbb{F_p} $
$ B:=\mathbb{F_{p^2}} $
$G:= \lbrace b \in B| b^{\frac{p+1}{4}}=1 \rbrace $
$\theta(a):=(\frac{a}{p})$
$(\frac{a}{p})$はルジャンドル記号
$A^\times \cap G=\lbrace 1 \rbrace$
$\theta(1)=1$
$B/(A^\times G) \simeq \lbrace 0,1,\sqrt{-1} , \frac{1+\sqrt{-1}}{\sqrt{2}} , \frac{-1 + \sqrt{-1}}{\sqrt{2}} \rbrace $
$G^p=G$,$t(g^pb^p)=t(gb)$より
$\alpha'(b^p)=\alpha'(b)$
$ \alpha'(0)=0$
$\alpha'(\sqrt{-1})=\alpha'(\sqrt{-1}^p)=\alpha'(-\sqrt{-1})=-\alpha'(\sqrt{-1}) $
$\alpha'(\sqrt{-1})=0$
$\alpha'( \frac{1+\sqrt{-1}}{\sqrt{2}})= \alpha'( \frac{-1 + \sqrt{-1}}{\sqrt{2}})$
$\alpha'(b)$はルジャンドル記号の整数性より整数
$p=|C|=\alpha'(0)^2+\alpha'(1)^2+\alpha'(\sqrt{-1})^2+\alpha'(\frac{1+\sqrt{-1}}{\sqrt{2}})^2+\alpha'(\frac{-1 + \sqrt{-1}}{\sqrt{2}})^2 \\ =\alpha'(1)^2+2\alpha'(\frac{1+\sqrt{-1}}{\sqrt{2}})^2$
$p=x^2+2y^2$
例1の続き
$p$を$8$で割って$1$余る素数
$ A:=\mathbb{F_p} $
$ B:=\mathbb{F_{p^2}} $
$G:= \lbrace b \in B| b^{p+1}=1 \rbrace $
$\theta(a)$は$mod$ $p$で位数$4$のディリクレ指標
$A^\times \cap G=\lbrace \pm 1 \rbrace$
$\theta(\pm 1)=1$
$M \in A$を$(\frac{M}{p})=-1$とする。
${G}/{\lbrace \pm 1 \rbrace} \simeq \lbrace b \in B| b^{\frac{p+1}{2}}=1 \rbrace $
$B/(A^\times G)\simeq\lbrace 0,1,\sqrt{M} \rbrace $
$\alpha'(b)$はガウス整数
$\alpha'(0)=0$
$g=v+\sqrt{M}w$,$g \in G$ ならば,$g^{p+1}=v^2-Mw^2=1$変形すると
$\frac{1}{v^2}-M\frac{(\sqrt{-1}w)^2}{v^2}=1$
($v=t(g)$)
($v=0$なら両辺の平方剰余、非剰余が異なるため$v\neq0$)
$$\overline{\alpha(1)}=\sum_{g \in G}{\overline{\theta(t(g))}}
=\sum_{g \in G}{\theta(t(g))^{-1}}=\sum_{g \in G}{\theta(t(g))}=\alpha(1) $$
$\alpha(1)$は整数
$g \in G$なら${(g\sqrt{M})}^{p+1}=-M $
$g\sqrt{M}=x+y\sqrt{M}$とする。
$x^2-y^2M=-M$
$a$を$A^\times$の元としたとき、
$a^2+M$は平方剰余$v^2$か平方非剰余$v^2M$
(-1が平方剰余なので、$0$にはならいない。)
平方非剰余なら$a$はある$g$で$t(g\sqrt{M})=a$
平方剰余なら$a^2+M=v^2$を変形して、
$$M+\frac{M^2}{a^2}=\frac{v^2}{a^2}M$$が成り立つので,
$\frac{M}{a}=t(g\sqrt{M})$
$\theta(M)=\sqrt{-1}$が成り立つように$M$を取れる。
(成り立たない場合は$M^3$を取ればよい)
$\frac{M}{a}$は$a$に関して対合
$A^\times$の元$a$は
次のどれかである。
$a=v^4,\theta(a)=1$
$a=v^4M,\theta(a)=\sqrt{-1}$
$a=v^4M^2,\theta(a)=-1$
$a=v^4M^3,\theta(a)=-\sqrt{-1}$
対は
$\frac{M}{a}=v^{-4}M ,\theta(\frac{M}{a})=\sqrt{-1}$
$\frac{M}{a}=v^{-4} ,\theta(\frac{M}{a})=1$
$\frac{M}{a}=v^{-4}M^{-1}=\frac{1}{M^4v^4}M^3 ,\theta(\frac{M}{a})=-\sqrt{-1}$
$\frac{M}{a}=v^{-4}M^{-2}=\frac{1}{v^4M^4}M^2 ,\theta(\frac{M}{a})=-1$
$\alpha(M)$は$A^\times$の元$a$に対して、$\theta{(a)}$か$\theta{(\frac{M}{a})}$のどちらかを足し,$A^\times$の先の類別を用いると。
各対は$w_i=0,1$を用いてそれぞれ
$$w_0+(1-w_0)(\sqrt{-1})$$
$$w_1\sqrt{-1}+(1-w_1)(1)$$
$$w_2(-1)+(1-w_2)(-\sqrt{-1})$$
$$w_3(-\sqrt{-1})+(1-w_3)(-1)$$
と表せる。
これらを足すと。
$$w_0+1-w_1-w_2-1+w_3+(1-w_0+w_1-1+w_2-w_3)\sqrt{-1}= \\
(w_0-w_1-w_2+w_3)(1-\sqrt{-1})$$
これにより、$\alpha(\sqrt{M})$は$1-\sqrt{-1}$の整数倍
$|\alpha'(\sqrt{M})|^2=2d^2$ で
$p=|C|=|\alpha'(0)|^2+|\alpha'(1)|^2+|\alpha'(\sqrt{M})|^2=\alpha'(1)^2+2d^2$
となる。