素数と2次形式

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動機

素数 $p$ を表現する正定値二次形式 $x^{2} + n y^{2} = p$ の
$x$ と $y$ を求める公式を作りたい。
$x^{2} + y^{2}$ と $x^{2} + 2 y^{2}$ の場合の公式を求めました。

準備

A

と

A^{\times}

の定義

$A$ を可換環
$A^{\times}$ は $A$ の単元群

Bの定義1

$B$ を $A$ 加群
$B$ は $A$ 加群として次の分裂完全列が存在する。
$0 \overset{}{\to} A \overset{i}{\to} B \overset{p}{\to} C \overset{}{\to} 0$

分裂完全列が持つ性質
$t : B \overset{}{\to} A$ を $t i = i d_{A}$ 満たす全射
$l : C \overset{}{\to} B$ を $p l = i d_{C}$ を満たす単射

B

の定義

2

$B$ は有限集合

G

の定義1

$G$ を $B$ の $A$ 加群自己同型群の部分群

I_{g}

の定義

$g \in G$
$I_{g} := t (g (l (C)))$ は $A$ のイデアル

G

の定義2

$G$ は次の性質を満たすとする。
$I_{g} = 0$ ならば、 $g = a I d_{B}$ $(a \in A^{\times})$
$I_{g} \neq 0$ ならば、 $t (g (i (1_{A}))) \in I_{g}$

有限体

F_{q}

の有限次拡大体

F_{q^{n}}

$A := F_{q}$
$B := F_{q^{n}}$
$G$ を $B$ の乗法部分群
$n$ と $q$ は互いに素
$i$ として、 $F_{q}$ の包含をとり、
$t$ として、 $\frac{T r (x)}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} x^{p^{k}}$
$p (b) := b - t (b)$
$C := p (B)$
$B = A \oplus C$
$t (x y)$ は $B$ で非退化対称形式
$t (p (x) p (y))$ も $C$ で非退化
すべての $y \in C$ で $t (p (x) p (y)) = 0$ なら $p (x) = 0$

$p (g) \neq 0$ ならばある $b \in B$ で $t (p (g) p (b)) \neq 0$ より $I_{g} = A$
$t (g (i (1_{A}))) = t (g) \in A$

$p (g) = 0$ ならば $g \in A$

θ (a)

$\hat{θ} : A^{\times} \overset{}{\to} C^{\times}$ は非自明群準同型
$θ : A \overset{}{\to} C$
$θ (a) := 0 a \in A - A^{\times}$
$θ (a) := \hat{θ} (a) a \in A^{\times}$

$a I d_{B} \in A^{\times} I d_{B} \cap G$ ならば $θ (a) = 1$

α^{^{'}} (b)

$α^{^{'}} (b) := \sum_{g (A^{\times} I d_{B} \cap G) \in G / (A^{\times} I d_{B} \cap G)} θ (t (g (b)))$

$| C | = \sum_{b A^{\times} I d_{B} G \in B / (A^{\times} I d_{B} G)} | α^{^{'}} (b) |^{2}$

α (b)

$α (b) := \sum_{g \in G} θ (t (g (b)))$

$θ (a)$ の準同型性、 $g$ の $A$ 準同型性より
$a \in A^{\times}$ なら
$α (a b) = \sum_{g \in G} θ (t (g (a b))) = θ (a) α (b)$
$| α (a b) |^{2} = | α (b) |^{2}$

$θ (a)$ の定義より
$a I d_{B} \in A^{\times} I d_{B} \cap G$ なら
$α (a b) = \sum_{g \in G} θ (t (g (a b))) = α (b)$
$α (b) = | A^{\times} I d_{B} \cap G | α^{^{'}} (b)$

$α (b)$ の定義より
$g \in G$
$α (g (b)) = α (b)$

I_{g}

の性質

$\sum_{a_{g} \in I_{g}} θ (t (g (i (1_{A})) + a_{g}) = \begin{array}{r} {\begin{cases} 1 (I_{g} = 0) \\ 0 (I_{g} \neq 0) \end{cases} \end{array}$
$I_{g} = 0$ ならば
$G$ の定義２から
$a \in A^{\times}$ $g = a I d_{B}$
$θ (a)$ の定義から $θ (a) = 1$

$I_{g} ⫋ A$ ならば
$t (g (i (1_{A})) \in I_{g}$ および $I_{g} \cap A^{\times} = ϕ$ より
$θ (I_{g}) = {0}$

$I_{g} = A$ ならば
$\hat{θ}$ の非自明性より、
ある $a_{1} \in A^{\times}$ で $θ (a_{1}) \neq 1$
$a_{1} A = A$ から
$\sum_{a \in A} θ (t (g (i (1_{A})) + a) = \sum_{a \in A} θ (a) = \sum_{a \in A} θ (a_{1} a)$
$0 = (1 - θ (a_{1})) \sum_{a \in A} θ (a)$
$0 = \sum_{a \in A} θ (a)$

$\sum_{b \in B / G} | α (b) |^{2} = \frac{| A^{\times} |}{| A^{\times} I d_{B} \cap G |} \sum_{b A^{\times} I d_{B} G \in B / (A^{\times} I d_{B} G)} | α (b) |^{2} = | A^{\times} | | A^{\times} I d_{B} \cap G | \sum_{b A^{\times} I d_{B} G \in B / (A^{\times} I d_{B} G)} | α^{^{'}} (b) |^{2}$

$\sum_{b \in B / G} | α (b) |^{2} = \sum_{b \in B / G} \sum_{g, g^{'} \in G} \overset{―}{t (θ (g^{'} (b)))} θ (t (g (b))) = \sum_{b \in B} \sum_{g \in G} \overset{―}{θ (t (b))} θ (t (g (b))) (b = i t (b) + l p (b), t (b) = a, p (b) = c) = \sum_{a \in A} \sum_{c \in C} \sum_{g \in G} \overset{―}{θ (a)} θ (t (g (a i (1_{A}) + l (c)))) (a \in A - A^{\times}, θ (a) = 0) = \sum_{a \in A^{\times}} \sum_{c \in C} \sum_{g \in G} \overset{―}{θ (a)} θ (t (g (a i (1_{A}) + l (c)))) = \sum_{a \in A^{\times}} \sum_{c \in C} \sum_{g \in G} θ (t (g (i (1_{A}) + l (a^{- 1} c)))) (C は A 加群) = | A^{\times} | \sum_{c \in C} \sum_{g \in G} θ (t (g (i (1_{A}))) + t (g (l (c)))) = | A^{\times} | \sum_{g \in G} \frac{| C |}{| I_{g} |} \sum_{a_{g} \in I_{g}} θ (t (g (i (1_{A})) + a_{g}) (補題 I_{g} の性質より) = | A^{\times} | \sum_{g \in A^{\times} I d_{B} \cap G} | C | = | A^{\times} | | A^{\times} I d_{B} \cap G | | C |$

$\sum_{b \in B / G} | α (b) |^{2} = | A^{\times} | | A^{\times} I d_{B} \cap G | \sum_{b A^{\times} I d_{B} G \in B / (A^{\times} I d_{B} G)} | α^{^{'}} (b) |^{2} = | A^{\times} | | A^{\times} I d_{B} \cap G | | C |$

$| C | = \sum_{b A^{\times} I d_{B} G \in B / (A^{\times} I d_{B} G)} | α^{^{'}} (b) |^{2}$

具体例

p = x^{2} + y^{2}

例1の続き
$p$ を $4$ で割って $1$ 余る素数
$A := F_{p}$
$B := F_{p^{2}}$
$G := {b \in B | b^{p + 1} = 1}$
$θ (a) := (\frac{a}{p})$
$(\frac{a}{p})$ はルジャンドル記号
$A^{\times} \cap G = {\pm 1}$
$θ (\pm 1) = 1$
$M \in A$ を $θ (M) = - 1$ とする。
$G / {\pm 1} ≃ {b \in B | b^{\frac{p + 1}{2}} = 1}$
$B / (A^{\times} G) ≃ {0, 1, \sqrt{M}}$
$α^{'} (b)$ はルジャンドル記号の整数性より整数
$α^{'} (0) = 0$
$p = | C | = α^{'} (0)^{2} + α^{'} (1)^{2} + α^{'} (\sqrt{M})^{2} = α^{'} (1)^{2} + α^{'} (\sqrt{M})^{2}$

p = x^{2} + 2 y^{2}

例1の続き
$p$ を $8$ で割って $3$ 余る素数
$A := F_{p}$
$B := F_{p^{2}}$
$G := {b \in B | b^{\frac{p + 1}{4}} = 1}$
$θ (a) := (\frac{a}{p})$
$(\frac{a}{p})$ はルジャンドル記号
$A^{\times} \cap G = {1}$
$θ (1) = 1$
$B / (A^{\times} G) ≃ {0, 1, \sqrt{- 1}, \frac{1 + \sqrt{- 1}}{\sqrt{2}}, \frac{- 1 + \sqrt{- 1}}{\sqrt{2}}}$
$G^{p} = G$ , $t (g^{p} b^{p}) = t (g b)$ より
$α^{'} (b^{p}) = α^{'} (b)$
$α^{'} (0) = 0$
$α^{'} (\sqrt{- 1}) = α^{'} ({\sqrt{- 1}}^{p}) = α^{'} (- \sqrt{- 1}) = - α^{'} (\sqrt{- 1})$
$α^{'} (\sqrt{- 1}) = 0$
$α^{'} (\frac{1 + \sqrt{- 1}}{\sqrt{2}}) = α^{'} (\frac{- 1 + \sqrt{- 1}}{\sqrt{2}})$

$α^{'} (b)$ はルジャンドル記号の整数性より整数
$p = | C | = α^{'} (0)^{2} + α^{'} (1)^{2} + α^{'} (\sqrt{- 1})^{2} + α^{'} (\frac{1 + \sqrt{- 1}}{\sqrt{2}})^{2} + α^{'} (\frac{- 1 + \sqrt{- 1}}{\sqrt{2}})^{2} = α^{'} (1)^{2} + 2 α^{'} (\frac{1 + \sqrt{- 1}}{\sqrt{2}})^{2}$

$p = x^{2} + 2 y^{2}$
例1の続き
$p$ を $8$ で割って $1$ 余る素数
$A := F_{p}$
$B := F_{p^{2}}$
$G := {b \in B | b^{p + 1} = 1}$
$θ (a)$ は $m o d$ $p$ で位数 $4$ のディリクレ指標
$A^{\times} \cap G = {\pm 1}$
$θ (\pm 1) = 1$

$M \in A$ を $(\frac{M}{p}) = - 1$ とする。
$G / {\pm 1} ≃ {b \in B | b^{\frac{p + 1}{2}} = 1}$
$B / (A^{\times} G) ≃ {0, 1, \sqrt{M}}$
$α^{'} (b)$ はガウス整数
$α^{'} (0) = 0$
$g = v + \sqrt{M} w$ , $g \in G$ ならば, $g^{p + 1} = v^{2} - M w^{2} = 1$ 変形すると
$\frac{1}{v^{2}} - M \frac{(\sqrt{- 1} w)^{2}}{v^{2}} = 1$
( $v = t (g)$ )
( $v = 0$ なら両辺の平方剰余、非剰余が異なるため $v \neq 0$ )
$\overset{―}{α (1)} = \sum_{g \in G} \overset{―}{θ (t (g))} = \sum_{g \in G} θ (t (g))^{- 1} = \sum_{g \in G} θ (t (g)) = α (1)$
$α (1)$ は整数

$g \in G$ なら ${(g \sqrt{M})}^{p + 1} = - M$
$g \sqrt{M} = x + y \sqrt{M}$ とする。
$x^{2} - y^{2} M = - M$

$a$ を $A^{\times}$ の元としたとき、
$a^{2} + M$ は平方剰余 $v^{2}$ か平方非剰余 $v^{2} M$
(-1が平方剰余なので、 $0$ にはならいない。)
平方非剰余なら $a$ はある $g$ で $t (g \sqrt{M}) = a$
平方剰余なら $a^{2} + M = v^{2}$ を変形して、
$M + \frac{M^{2}}{a^{2}} = \frac{v^{2}}{a^{2}} M$ が成り立つので,

$\frac{M}{a} = t (g \sqrt{M})$
$θ (M) = \sqrt{- 1}$ が成り立つように $M$ を取れる。
(成り立たない場合は $M^{3}$ を取ればよい)

$\frac{M}{a}$ は $a$ に関して対合

$A^{\times}$ の元 $a$ は
次のどれかである。
$a = v^{4}, θ (a) = 1$
$a = v^{4} M, θ (a) = \sqrt{- 1}$

$a = v^{4} M^{2}, θ (a) = - 1$
$a = v^{4} M^{3}, θ (a) = - \sqrt{- 1}$

対は

$\frac{M}{a} = v^{- 4} M, θ (\frac{M}{a}) = \sqrt{- 1}$
$\frac{M}{a} = v^{- 4}, θ (\frac{M}{a}) = 1$
$\frac{M}{a} = v^{- 4} M^{- 1} = \frac{1}{M^{4} v^{4}} M^{3}, θ (\frac{M}{a}) = - \sqrt{- 1}$
$\frac{M}{a} = v^{- 4} M^{- 2} = \frac{1}{v^{4} M^{4}} M^{2}, θ (\frac{M}{a}) = - 1$

$α (M)$ は $A^{\times}$ の元 $a$ に対して、 $θ (a)$ か $θ (\frac{M}{a})$ のどちらかを足し, $A^{\times}$ の先の類別を用いると。
各対は $w_{i} = 0, 1$ を用いてそれぞれ
$w_{0} + (1 - w_{0}) (\sqrt{- 1})$
$w_{1} \sqrt{- 1} + (1 - w_{1}) (1)$
$w_{2} (- 1) + (1 - w_{2}) (- \sqrt{- 1})$
$w_{3} (- \sqrt{- 1}) + (1 - w_{3}) (- 1)$
と表せる。
これらを足すと。
$w_{0} + 1 - w_{1} - w_{2} - 1 + w_{3} + (1 - w_{0} + w_{1} - 1 + w_{2} - w_{3}) \sqrt{- 1} = (w_{0} - w_{1} - w_{2} + w_{3}) (1 - \sqrt{- 1})$
これにより、 $α (\sqrt{M})$ は $1 - \sqrt{- 1}$ の整数倍
$| α^{'} (\sqrt{M}) |^{2} = 2 d^{2}$ で
$p = | C | = | α^{'} (0) |^{2} + | α^{'} (1) |^{2} + | α^{'} (\sqrt{M}) |^{2} = α^{'} (1)^{2} + 2 d^{2}$
となる。

投稿日：2022年7月12日

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