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Γ関数から得られる指数関数の積分表示とその利用

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こんにちは.この記事では軽い自己紹介と,TeX打ち練習を兼ねてΓ(ガンマ)関数を用いた指数関数の積分表示を導出し,それを用いて有名な特殊関数の積分表示を確認していこうと思います.間違い等あればコメントお願いします.

自己紹介

現在高1のたい焼き(Twitter:sakurabarora777)と申します.数学と物理学を趣味で嗜んでいます.気が向いたときに記事を書けたら良いなーって思います!

Γ関数の定義・性質

Γ関数は階乗の概念を非負整数から一般の複素数(ただし実部は正)に拡張したものです.

Γ関数の定義
Re(s)>0なる複素数sに対し,
Γ(s):=0ts1etdt

部分積分を用いることで,等式Γ(s+1)=sΓ(s)が得られ,Γ(1)=1であることから非負整数nに対しΓ(n+1)=n!であることがわかります.すなわち,Γ関数は階乗の自然な拡張になっていると言える訳です.また,先程の等式から負の整数を除く複素数全体に解析接続する(定義域を拡張する)ことができます.

指数関数の積分表示

Γ関数の定義式において,aを正の定数としてtatと置き換えます.すると,積分区間は[0]のままで
Γ(s)=0ts1etdt=0(at)s1eatadt=as0ts1eatdt
したがって,以下のような積分表示を得ます.

・指数関数の積分表示
正の実数定数aRe(s)>0なる複素数sに対し,
as=1Γ(s)0ts1eatdt

この積分表示は,有名な特殊関数の積分表示を導出する際に頻繁に用いられます.(積分表示にΓ関数が入っているのを頻繁に目にすると思います)

ζ関数の積分表示

ζ(ゼータ)関数は以下のように定義されます.

ζ関数の定義
Re(s)>0なる複素数sに対し,
ζ(s):=n=11ns

これの積分表示を導出してみましょう.指数関数の積分表示をnsに適用して,
ζ(s)=n=11ns=n=11Γ(s)0ts1entdt=1Γ(s)0ts1n=1entdt=1Γ(s)0ts1et1etdt=1Γ(s)0ts1et1dt
となります.結果をまとめると以下のようになります.

ζ関数の積分表示
こちらをζ関数の定義とすることもあるようです.
ζ(s)=1Γ(s)0ts1et1dt

多重対数関数の積分表示

多重対数関数は以下のように定義されます.

・多重対数関数の定義
|z|<1なる複素数z,sに対し,(sは任意)
Lis(z):=n=1znns

これの積分表示を導出してみましょう.流れはζ関数のときと同様なので,やったことがない人は是非手を動かして計算してみてください.指数関数の積分表示をnsに適用して,
Lis(z)=n=1znns=n=1zn1Γ(s)0ts1entdt=1Γ(s)0ts1n=1znentdt=1Γ(s)0ts1zet1zetdt=zΓ(s)0ts1etzdt
となります.結果をまとめると以下のようになります.

・多重対数関数の積分表示
Lis(z)=zΓ(s)0ts1etzdt

Dirichlet beta関数の積分表示

Dirichlet beta関数は以下のように定義されます.

・Dirichlet beta関数の定義
Re(s)>0なる複素数sに対し,
β(s):=n=0(1)n(2n+1)s

これの積分表示を導出してみましょう.上2つと流れは同じですが,指数関数の積分表示でa2n+1に置き換えて使います.これを(2n+1)sに適用して,
β(s)=n=0(1)n(2n+1)s=n=0(1)nΓ(s)0ts1e(2n+1)tdt=1Γ(s)0ts1n=0(1)ne(2n+1)tdt
ここで,数列an=(1)ne(2n+1)ta0=et,公比e2tの等比数列なので,
n=0(1)ne(2n+1)t=et1+e2t
と計算できるので,
1Γ(s)0ts1n=0(1)ne(2n+1)tdt=1Γ(s)0ts1et1+e2tdt=1Γ(s)0ts1ete2t+1dt
となります.結果をまとめると以下のようになります.

・Dirichlet beta関数の積分表示
β(s)=1Γ(s)0ts1ete2t+1dt

まとめ的な何か

この記事では3つの特殊関数を取り上げ積分表示を導出しましたが,どれもやり方はほぼ同じです.指数関数の積分表示は,積分や級数の問題を解く際にもしばしば有効となることがあるので,ぜひ覚えておきましょう.現在,物理学に関する記事を執筆中なので完成次第投稿すると思います.つまらない内容でしたが,最後まで目を通していただきありがとうございました.

投稿日:2020118
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投稿者

物理学と数学を嗜んでいる高2です 食わず嫌いせずにいろんな分野に触れたいと思ってます

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  1. 自己紹介
  2. Γ関数の定義・性質
  3. 指数関数の積分表示
  4. ζ関数の積分表示
  5. 多重対数関数の積分表示
  6. Dirichlet beta関数の積分表示
  7. まとめ的な何か