代数学の基本定理

　(i),(ii)$\Rightarrow$実閉体は本質的に代数学の基本定理なので後にして, ここでは実閉体$\Rightarrow$(i),(ii)のみ示す.
　(i) $a\ne b^2(\mathrm{\forall }b\in K)$とする. すると, $K(\sqrt{a})$は実閉体$K$の代数拡大で$K$とは異なるため実体でない. ゆえに, $-1=\sum (x_i+y_i\sqrt{a}{)}^2$ ($x_i,y_i\in K$). 整理して係数比較すると$-a\sum y_i^2=1+\sum x_i^2$. $K$が実体であることから右辺は$0$でないので, 特に左辺も$0$ではなく, $-a\in P$が言える.
　同様に$a\ne -b^2(\mathrm{\forall }b\in K)\Rightarrow a\in P$. よって(i)を否定すると$-1=-a\cdot a^{-1}\in P$となり矛盾. ゆえに(i)が成立.
　(ii)帰納法で示す. $n=1$ではもちろん成立. $3\le n$次多項式$f(x)$を考える. もし$f(x)$が可約なら$f(x)=$(奇数次)$\times$(偶数次)となるので仮定より$K$内に根を持つ.
　$f(x)$が既約であるなら, 根$\alpha$を用いて$n$次拡大$K(\alpha )$を考えられる. $K(\alpha )$は$1,\alpha ,...,{\alpha }^{n-1}$を基底に持つ$K$線形空間をなす. $K(\alpha )$はもちろん実体でないので, $-1=\sum (g_i(\alpha ){)}^2$. ただし, 一行前のことから$g_i(x)$は$n$次以下の多項式である. $\alpha$を根に持つので, $2n$次以下多項式は$\sum (g_i(x){)}^2+1=f(x)\cdot \mathrm{\exists }h(x)$. 次数を眺めると$h(x)$は$n$次以下の奇数次多項式なので帰納法の仮定から$K$内に根$\beta$を持つ. しかしこれは, $\sum (g_i(\beta ){)}^2=-1$を導き, $K$が実体であることに矛盾. ゆえに(ii)が成立.

　まず, (i)の条件だと二次方程式が解けてないのでそこを埋める. (i)から0でない任意の$a\in K$に対して, $a\in P$または$-a\in P$でありしかも$K$は実体なので同時には起こらない. よって$a\in P$の時, 必ず存在する平方根$\pm \sqrt{a}$のうち, $\sqrt{a}\in P$と定めておく.
　二次方程式は平方完成すれば実質$z^2=x+y\sqrt{-1}(x,y\in K)$になる. この解は書き下せる. そのために$x+\sqrt{x^2+y^2}\in P$を示す. $x\in P$ならよい. $x\notin P$なら$-x\in P$なので, $-x+\sqrt{x^2+y^2}\in P$. ここで$x+\sqrt{x^2+y^2}\notin P$ならば$-x-\sqrt{x^2+y^2}\in P$ で$(-x+\sqrt{x^2+y^2})(-x-\sqrt{x^2+y^2})\in P$を導くが, これは$\sqrt{-1}$を導くので矛盾. よって$x+\sqrt{x^2+y^2}\in P$. これを用いれば上記の解は$z=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{x+\sqrt{x^2+y^2}}}\sqrt{-1})\in K(\sqrt{-1})$である.

　$[L:K]=2^{n}q$ ($q$は奇数)とすると二次拡大を含むので$n\ge 1$である. よって, Galois群$Gal(L/K)=:G$は2-Sylow部分群$S$をもつ. 対応する中間体$L^S$を取れば, $[L^S:K]=q$となり奇数次拡大である. 標数0の体の有限次代数拡大は単拡大なので, $\alpha \in L^S$で$L^S=K(\alpha )$とおける. $\alpha$の最小多項式の次数は$q$なので(ii)から$q=1$.

　$K(\sqrt{-1})$に対応する$G$の部分群$H$を取る. $|H|=2^{n-1}$である. $n\ge 2$とすると, $H$は$p$群なので位数$2^{n-2}$の部分群$I$を持つ. 対応する中間体$L^I$を取れば, $[L^I:K(\sqrt{-1})]=2$となる. しかしこれは既約な$K(\sqrt{-1})$係数2次多項式が存在することを意味し, STEP1に矛盾する. ゆえに$n=1$であり, $K$係数の既約な2次多項式の根は$K(\sqrt{-1})$に全て含まれるので, Kの2次拡大は$K(\sqrt{-1})$しかなく, $L=K(\sqrt{-1})$が示された.