京大数学科院試過去問解答例(2025基礎04)

初めに$\frac{{\sin }^{n}x}{x^n}$は$x=0$に解析接続され、その値は$1$であることから、積分
$${\int }_0^{2\pi }\frac{{\sin }^{n}x}{x^a}$$
は$n+1\le a$で発散し、$a<n+1$で収束する。
次に積分
$${\int }_{2\pi }^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{2k+1}x}{x^a}dx$$
が任意の$a>0$で収束する一方$a\le 0$では収束しないことを示す。まず$F(\theta )$を${\sin }^{2k+1}\theta$の原始関数とする。このとき上記の積分は、$F$の有界性を考慮すると、
$$\begin{array}{rl}{\int }_{2\pi }^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{2k+1}x}{x^a}dx& ={\left[\frac{F(x)}{x^a}\right]}_{2\pi }^{\mathrm{\infty }}+a{\int }_{2\pi }^{\mathrm{\infty }}\frac{F(x)}{x^{1+a}}dx\\ & =-\frac{F(2\pi )}{(2\pi {)}^a}+a{\int }_{2\pi }^{\mathrm{\infty }}\frac{F(x)}{x^{1+a}}dx\end{array}$$
と表せる。再び$F(\theta )$の有界性を考慮すれば、右辺第二項がルベーグの優収束定理からwell-definedに定まることが従う。よって上記の積分はwell-definedに定まる。一方$a=0$のときは${\sin }^{2k+1}x$は周期関数なので収束せず、$a<0$のときも
$${\int }_{2\pi }^{\mathrm{\infty }}{x}^{-a}{\sin }^{2k+1}xdx=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i{I}_i$$
$$I_i:={\int }_{(i+2)\pi }^{(i+3)\pi }|x^{-a}{\sin }^{2k+1}x|dx$$
と表せ、$I_i$は$i$に対して単調増加であることから収束しない。
次に積分
$${\int }_{2\pi }^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^{2k}x}{x^a}dx$$
はルベーグの優収束定理から任意の$a>1$で収束する一方、$a\le 1$では収束しない。
以上から$I_a$が収束するような$a$の範囲は
$$\begin{array}{}0<a<n+1& (2\nmid n)\\ 1<a<n+1& (2|n)\end{array}$$
である。