コスニタの定理の初等的な証明

はじめに

mathlogの こちらの記事 でコスニタの定理というものを見かけて, それの初等的な証明を思いついたので紹介します. なお, 引用元の記事も, とてもたくさん幾何の知識が紹介されていて素敵な記事なのでオススメです！

証明

それでは証明していきます. まず, $O$を$BC$に関して対称移動させた点を$D$とすると,
$$\angle BOD=\angle O_AOB, \angle ODB=\angle DOB=\angle OBO_A$$
より三角形$ODB$と$OBO_A$は相似なので, 対応辺の比から$OB^2=OD\cdot OO_A$を得ます. すなわち$D$は$O_A$を三角形$ABC$の外接円に関して反転させた点と一致します. よって直線$OO_A$と三角形$ABC$の外接円との交点のうち, 線分$O_AD$内にあるものを$P$, そうでないものを$Q$とすると, $(O_A, D; P, Q)$は調和点列となっているので, 三角形$ABC$の外接円は$2$点$O_A, D$のアポロニウスの円となっており, 特に$\angle O_AAP=\angle DAP$を得ます.したがって直線$AO_A, AD$は三角形$ABC$の角$A$内における等角共役の関係にあることがわかります.

ここで次の補題を用意します:

以上より, 三直線$AO_A, BO_B, CO_C$は三角形$ABC$の九点円の中心に対する等角共役点で交わることがわかるので, 題意は示されました.

ここまで読んでくれてありがとうございました！