Cauchy積分

$f\left(x\right)$は有界閉区間$a\le x\le b$上の連続関数であるから、ここにおいてまた一様連続である。
したがって、任意の実数$\epsilon >0$に対しある実数$\eta >0$が存在して、任意の二点$x_1,x_2\in [a,b]$について$|x_1-x_2|<\eta$なる限り
$$|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)|<\frac{\epsilon }{b-a}$$
とできる。
いま、ノルムが$\frac{\eta }{2}$未満の任意の分割${\Delta }_1,{\Delta }_2;$
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\Delta }_1:a=a_0^1<a_1^1<a_2^1<\cdots <a_{n_1}^1=b\\ {\Delta }_2:a=a_0^2<a_1^2<a_2^2<\cdots <a_{n_2}^2=b\end{array}\end{array}$$
を設け、各小区間から点${\xi }_i^1,{\xi }_j^2(i,j=1,2,\cdots ,n)$をとり、各々和
$$S_1=\sum _{i=1}^{n_1}f\left({\xi }_i^1\right)(a_i^1-a_{i-1}^1),S_2=\sum _{j=1}^{n_2}f\left({\xi }_j^2\right)(a_j^2-a_{j-1}^2)$$
を作る。
これら$S_1,S_2$を比較してみよう。
そのために、${\Delta }_1,{\Delta }_2$の分点を合計した分点をもつ分割${\Delta }_1\cap {\Delta }_2$を${\Delta }_3$で表し、
$${\Delta }_3:a=a_0^3<a_1^3<a_2^3<\cdots <a_{n_3}^3=b$$
とおけば、$S_1,S_2$は
$$S_1=\sum _{k=1}^{n_3}f\left({\xi }_{i(k)}^1\right)(a_k^3-a_{k-1}^3),S_2=\sum _{k=1}^{n_3}f\left({\xi }_{j(k)}^2\right)(a_k^3-a_{k-1}^3)$$
と表される。
この場合${\xi }_{i(k)}^1,{\xi }_{j(k)}^2$は必ずしも小区間$a_{k-1}^3\le x\le a_k^3$に含まれるとはいえないが、$2$小区間$a_{i\left(k\right)-1}^1\le x\le a_{i\left(k\right)}^1,a_{j\left(k\right)-1}^2\le x\le a_{j\left(k\right)}^2$は共に小区間$a_{k-1}^3\le x\le a_k^3$を含み、かつ${\Delta }_1,{\Delta }_2$のノルムは$\frac{\eta }{2}$を超えないから、$|{\xi }_{i\left(k\right)}^1-{\xi }_{j\left(k\right)}^2|\le \eta$
ここで$|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)|<\frac{\epsilon }{b-a}$から$|f\left({\xi }_{i\left(k\right)}^1\right)-f\left({\xi }_{j\left(k\right)}^2\right)|\le \frac{\epsilon }{b-a}$であり、
$$|S_1-S_2|=|\sum _{k=1}^{n_3}f\left({\xi }_{i\left(k\right)}^1\right)(a_k^3-a_{k-1}^3)-\sum _{k=1}^{n_3}f\left({\xi }_{j\left(k\right)}^2\right)(a_k^3-a_{k-1}^3)|$$
$$\le \sum _{k=1}^{n_3}|f\left({\xi }_{i\left(k\right)}^1\right)-f\left({\xi }_{j\left(k\right)}^2\right)|(a_k^3-a_{k-1}^3)$$
$$<\frac{\epsilon }{b-a}\sum _{k=1}^{n_3}(a_k^3-a_{k-1}^3)=\frac{\epsilon }{b-a}(b-a)=\epsilon$$
すなわち${\Delta }_1,{\Delta }_2$のノルムが$\frac{\eta }{2}$未満なる限り$|S_1-S_2|<\epsilon$となるのだから、$\underset{\left|\Delta \right|\to 0}{lim}S$なる極限の存在が証明された。