Cauchy積分

$f \left( x \right) $は有界閉区間$ a \leq x \leq b $上の連続関数であるから、ここにおいてまた一様連続である。
したがって、任意の実数$ \varepsilon \gt 0 $に対しある実数$ \eta \gt 0 $が存在して、任意の二点$ x_{1} , x_{2} \in \lbrack a,b \rbrack $について$ \left| x_{1} - x_{2} \right| \lt \eta $なる限り
$$ \left| f \left(x_{1} \right) - f \left(x_{2} \right) \right| \lt \frac{ \varepsilon }{b - a} $$
とできる。
いま、ノルムが$ \frac{\eta}{2} $未満の任意の分割$ \varDelta _{1}, \varDelta _{2} ; $
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \varDelta _{1}:a = a^{1} _{0} \lt a^{1} _{1} \lt a^{1} _{2} \lt \cdots \lt a^{1}_{ n_{1} } = b \\ \varDelta _{2}:a = a^{2} _{0} \lt a^{2} _{1} \lt a^{2} _{2} \lt \cdots \lt a^{2}_{ n_{2} } = b \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
を設け、各小区間から点$ \xi ^{1} _{i} ,\xi ^{2} _{j} \left( i,j = 1,2, \cdots ,n \right) $をとり、各々和
$$ S_{1} = \sum_{i=1}^{n_1} f \left( \xi ^{1} _{i} \right) \left( a^{1} _{i} - a^{1} _{i - 1} \right) , S_{2} = \sum_{j=1}^{n_2} f \left( \xi ^{2} _{j} \right) \left( a^{2} _{j} - a^{2} _{j - 1} \right) $$
を作る。
これら$ S_{1}, S_{2} $を比較してみよう。
そのために、$ \varDelta _{1}, \varDelta _{2} $の分点を合計した分点をもつ分割$ \varDelta _{1} \cap \varDelta _{2} $を$ \varDelta _{3}$で表し、
$$ \varDelta _{3} :a = a^{3} _{0} \lt a^{3} _{1} \lt a^{3} _{2} \lt \cdots \lt a^{3} _{ n_{3} } = b $$
とおけば、$ S_{1}, S_{2} $は
$$ S_{1} = \sum_{k=1}^{n_3} f \left( \xi ^{1} _{i(k)} \right) \left( a^{3} _{k} - a^{3} _{k - 1} \right) , S_{2} = \sum_{k=1}^{n_3} f \left( \xi ^{2} _{j(k)} \right) \left( a^{3} _{k} - a^{3} _{k - 1} \right) $$
と表される。
この場合$ \xi ^{1} _{i(k)},\xi ^{2} _{j(k)}$は必ずしも小区間$ a^{3} _{k - 1} \leq x \leq a^{3} _{k} $に含まれるとはいえないが、$ 2 $小区間$ a^{1} _{i \left( k \right) - 1 } \leq x \leq a^{1} _{i \left( k \right) } , a^{2} _{j \left( k \right) - 1 } \leq x \leq a^{2} _{j \left( k \right) } $は共に小区間$ a^{3} _{k - 1} \leq x \leq a^{3} _{k} $を含み、かつ$ \varDelta _{1}, \varDelta _{2} $のノルムは$ \frac{ \eta }{2} $を超えないから、$ \left| \xi ^{1} _{i \left( k \right) } - \xi ^{2} _{j \left( k \right) } \right| \leq \eta　$
ここで$\left| f \left(x_{1} \right) - f \left(x_{2} \right) \right| \lt \frac{ \varepsilon }{b - a} $から$ \left| f \left( \xi ^{1} _{i \left( k \right) }\right ) - f \left( \xi ^{2} _{j \left( k \right) } \right) \right| \leq \frac{ \varepsilon }{b - a} $であり、
$$ \left| S_{1} - S_{2} \right| = \left| \sum_{k=1}^{n_3} f \left( \xi ^{1} _{i \left( k\right) } \right) \left( a^{3} _{k} - a^{3} _{k - 1} \right) - \sum_{k=1}^{n_3} f \left( \xi ^{2} _{j \left( k\right) } \right) \left( a^{3} _{k} - a^{3} _{k - 1} \right) \right| $$
$$ \leq \sum_{k=1}^{n_3} \left| f \left( \xi ^{1} _{i \left( k \right) } \right) - f \left( \xi ^{2} _{j \left( k \right) } \right) \right| \left( a^{3} _{k} - a^{3} _{k - 1} \right) $$
$$ \lt \frac{ \varepsilon }{b - a} \sum_{k=1}^{n_3} \left( a^{3} _{k} - a^{3} _{k - 1} \right) = \frac{ \varepsilon }{b - a} \left( b - a \right) = \varepsilon $$
すなわち$ \varDelta _{1}, \varDelta _{2} $のノルムが$ \frac{ \eta }{2} $未満なる限り$\left| S_{1} - S_{2} \right| \lt \varepsilon $となるのだから、$ \lim_{ \left| \varDelta \right| \to 0} S $なる極限の存在が証明された。