JMOの組合せを思考回路まで書き出してみた

PCTです。今日はJMO2018-7を解説していきます。問題はこちらです。

$1$ 以上 $12$ 以下の正整数を $2$ 個ずつ、$6$ 個のペアに分割する。この時ペア全てに対して要素の差の絶対値を足し合わせたものが $30$ になるような分け方は何通りか。

とりあえず適当に具体例を試してみます。
$(1,4),(3,5),(2,12),(6,9),(7,10),(8,11)$ と分けてみると、$(4-1)+(5-3)+(12-2)+(9-6)+(10-7)+(11-8)=24$ となります。
ここで全体から $6$ 個数を選んでそれを $2$ 倍しているという風に解釈したくなります。なぜなら絶対値は場合分けが必要なので面倒です。なので消してあげましょう。

全体の和は $12(12+1)/2=78$ なので、$78-2x=30$ を解いて $x=24$ 。より数を $6$ 個選んで和が $24$ になるようにします。これは $(1,2,3,5,6,7),(1,2,3,4,5,9),(1,2,3,4,6,8)$ の $3$ 通りです。なので $3×6!=2160$ 通り。としたくなりますがちょっとまってください。絶対値を外す段階で $2$ 個の数の内小さい方を $2$ 倍して引くということをしたのでペアにする時これらの数が最小にならなければなりません。これは $3$ 通りしかないので場合分けをした方が早そうです。

$(1,2,3,5,6,7)$ の時
他の数は $(4,8,9,10,11,12)$ です。ここで $4$ とペアに出来る数は $1,2,3$ の $3$ 通りで他の数は自由に組んでいいです。よりこの時は $3×5!=360$ 通り。
$(1,2,3,4,5,9)$ の時
他の数は $(6,7,8,10,11,12)$ です。$9$ とペアに出来るのは $10,11,12$ の $3$ 通りで他の数は自由に組んでいいです。この時は $360$ 通りです。
$(1,2,3,4,6,8)$ の時
他の数は $(5,7,9,10,11,12)$ です。$8,5$ と組めるのはそれぞれ $4$ 通りで被りはありません。なので $4^2×4!=384$ 通りです。

よって $360+360+384=1104$ 通りとなります。

感想
したいことが明確なので簡単な方でしょうか。途中で $2160$ 通りと答えてしまった人が結構多そうですね。では。