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大学数学基礎解説
文献あり

【大域類体論】モジュラスと乗法合同で混乱しやすい所

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はじめに

大域類体論をイデアル論的に記述する際にまずモジュラスという概念が必要になる.これはイデアルの一般化のような対象であり大抵まずこれに分岐する素点を押し付けてから理論を記述する.また通常のイデアルのようにこれに関する合同mod×も考えることが必要になってくるのだがこれは通常のmodとは違い加法は一般に保たないという特質を持っており混乱し易い.その性質からmod×は乗法合同と呼ばれる.この記事ではモジュラスによる乗法合同mod×を丁寧に解説する.

モジュラス

Fを代数体、Vをその素点全体、Vfinを有限素点全体、VRを実素点全体、VCを複素素点全体とする。

(1)Fモジュラス(modulus) ^1 とはZ加群
vVfinZvVRZ/2ZvVC0
の元m(0)のことである.形式的にm=vVvmvとかく.

モジュラスmは有限素点の素因子全体の積mfinと無限素点の素因子全体の積mとにm=mfinmというように分解できる.このときmfin,mをそれぞれmの有限部分,mの無限部分と呼ぶ.

(2)
m=vVvmvn=vVvnvを代数体Fのモジュラスとする.mnを割り切るとは,任意のvに対してmvnvであるときをいい,このときmnと書く.特にvmなるFの素点vmの素因子と呼ぶ.素因子の指数,互いに素,gcd,lcmなどの概念は通常のイデアルの場合同様に定めることとする.

複素素点の影響は考えないのが特徴である。

上のm:V={Fの素点全体}Zを念のため明示的に書き下すと
(a) 全ての素点vに対してmv0だが,有限個のvを除いてmv=0
(b) vが実素点のときmv=0または1
(c) vが複素素点のときmv=0

つまりモジュラスm=vVvmvとは素点の形式的な積であって実素点のところの指数をZ/2Zで考えたもののことである.ここで素点vに対してpvvが有限素点のときはそれに対応する素イデアル,無限素点のときは単なる形式的な記号とした上でmm=vVpvmvと書くと直感的でわかりやすいことも多い.以下これらの記法を都合よく使い分けていくことにす.

筆者の個人的な感想

どちらかの記法にこだわるとかえってわかりにくくなると思う.

モジュラスによる乗法合同mod×

イデアルの場合同様にモジュラスについても合同を考えることが出来る.しかしそれは記号mod×が指し示すように通常のものとは性質が違うのでかなりややこしい.

[ノイキルヒ,p.371]に「通常の合同式」と書いてあるが以下を読めばそれは大嘘であるとわかるだろう.

乗法合同

Fを代数体, αF×とする.
(1) Fの有限素点vと正整数nに対して,
α1 (mod×vn)を次の二条件が成り立つような分数表示α=a/b (a,bOF)が存在することと定める:
vに対応する素イデアルをp=pvとするとき、
(a)a,bp.つまりαの分母,分子がpで割れない.
(b) ordp(α1)n(ここでordpはもちろんFZ{}).

(2)
 Fの実素点vに対して,vに対応する実埋め込みをσv:FFvRとするとき
α1 (mod×v)αFvで正,即ちσv(α)>0と定める[^3].

次にα,βF×m=vVvmvFのモジュラスとする.
(3)
α1 (mod×m)mv>0であるような全てのFの素点vに対してα1 (modvmv)と定める.

(4)
αβ (mod×m)α/β1 (modm)と定める. このmod×をその性質から乗法合同と呼ぶ.

定め方から当然のことではあるが αβ (mod×pn)と書いたときはα,β(OF,p)×であってもよいがβ/αOF,p×でなければならない.

言い換え1

(1)はOFpによる局所化OF,pの言葉を使えば以下のような同値な言い換えが出来る

(a) α(OF,p)×.

(b) α1pnOF,p.(すぐ下で説明する加法合同を用いて書けばα1 (mod+pn))

更に(a)を踏まえた上で,(b)を,自然な全射π:OF,pOF,p/pnOF,pがその単元群の間に誘導する全射π×によってαが1に送られる,と言い換えても良い.ここでKerπ×=1+pnOF,pである.この乗法群は次の言い換えにも出てくる.

一方ここで加法合同という言葉も導入しよう.そうすると対比が際立って理解がし易いと思う(一応[高木]に出てくる言葉ではある).

加法合同

α,βF, nを正整数, pを素イデアルとする.

Fにおける加法合同αβ (mod+pn)とは剰余環F/pnOF,pにおいて等しいということ(つまりαβpnOF,p)であると定義する.

これはα,βFの整数に限らないという意味でFの整数の間の合同を拡張したものとも見れる.

(1)38 (mod×5), 27 (mod×5)だが,515 (mod×5) 

(しかし38 (mod+5), 27 (mod+5)であるから515 (mod+5)ではある).

(2)
乗法合同⇒加法合同でも加法合同⇒乗法合同でもない([高木]の例)
6535 (mod+25)だが,6535 (mod×25)
101/307/10 (mod×25)だが,101/307/10 (mod+25)

乗法合同αβ (mod×pn)は乗法は保つが加法は一般に保たないことに注意したい.即ちαβ (mod×pn), αβ (mod×pn)のときααββ (mod×pn)ではあるがα+αβ+β (mod×pn)とは一般には限らない(上の例(1)).

一方加法合同に関しては環論でやったように加法も乗法も保つ.

言い換え2

1+pnOF,pは局所化OF,pFの単数群OF,p×F×の部分群であることに注意すると乗法群の剰余群F×/(1+pnOF,p)が考えられる.

このときαβ (mod×m)とはF×/(1+pnOF,p)においてα,βが同じ剰余類を定めるということと同値である.この言い換えを意識すれば乗法合同の"正体"が一目瞭然であると思う.特に加法を一般に保たず乗法を保つ,通常とは違う合同式ということも当然のこととなる.つまり剰余環のmodではなく剰余群のmodだから通常と違ってややこしいのである.

上の例にあるように加法合同と乗法合同は一般に同値でないがα,β(OF,p)×に対しては
αβ (mod×pn)αβ (mod+pn)即ちこの状況下であれば乗法合同と加法合同は同じものである.しかし辺々足したもののの商が(OF,p)×に入るとは限らないからこの場合でも乗法合同は一般に加法を保たない(上の例(1)).

終わりに

イデアル論は親しみやすくていいはずなのにこのようなややこしいものが丁寧に解説されていないともったいないと思う.読者の理解の助けになれば公開した意義があるというもので筆者の喜びです.間違いなどございましたらTwitterの方までご連絡ください.

[^3]: ここの正という条件,即ち実半直線R>0(=ray)に入る,という条件が射類群(ray class group)の言葉の由来である(Hasseによる).

参考文献

[1]
ノイキルヒ, 代数的整数論
[2]
J.Janusz, Algebraic Number Fields
[3]
高木貞治, 代数的整数論
投稿日:2022721
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  1. はじめに
  2. モジュラス
  3. モジュラスによる乗法合同mod$^{\times}$
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