メモ: パルス入力のラプラス変換

以下のような単一のパルス信号を考える。
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
ただし、$u(t)$は単位ステップ関数（$t$が負のとき0、正のとき1を値としてとる関数）である。

この信号のラプラス変換（$X_l(s)$とする）を考えると、以下の関数が得られる。
$$X_l(s)=\frac{1-e^{-s}}{s}$$
極と零点について調べてみる.
極としてありえそうなのは原点なので、こいつの$s=0$での値(の極限)を知りたい.

とりあえず指数関数のMaclaurin展開を使ってみる.
$$e^z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}=1+z+\frac{z^2}{2}+\cdots$$
なので、$z=-s$として$X_l(s)$の式に代入すると
$$X_l(s)=\frac{1-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-s{)}^k}{k!}}{s}=\frac{1-(1-s+\frac{s^2}{2}+\cdots )}{s}=1-\frac{s}{2}+O(s^2)(s\to 0)$$
が得られるので、
$$\underset{s\to 0}{lim}{X}_l(s)=1$$
が示された.
よって、$X_l(s)$は複素数平面上で極を持たない.
零点は$1-e^{-s}=0$を満たす点だから、（原点を除く）虚軸上に$2\pi i$間隔で無限個存在していることが分かる.