割り切れる数について

はじめまして。昔、思いついた式があったので試しに書いてみます。

式について

$$ [a^b+1 \ | \ a^{(2n+1)b}+1] $$
という式です。
言いたいとことしては、右側の数は左側の数で割り切れるということです。
$a,b,n$は自然数を想定しています。

証明

アプローチとしては、
$$ \frac{a^{(2n+1)b}+1}{a^b+1} $$
という式にして商を求めてみます。

指数法則より、
$$ \frac{a^{(2n+1)b}+1}{a^b+1} = \frac{{(a^{b})}^{2n+1}+1}{a^b+1} $$
となり、$a^b = T$と置くことで、
$$ \frac{T^{2n+1}+1}{T+1} $$
となり、展開すると、
$$ \frac{T^{2n+1}+1}{T+1} = \frac{(T+1)(T^{2n+1-1}-T^{2n+1-2}+T^{2n+1-3}- \cdots +T^2-T^1+T^0)}{T+1} \\[15pt] = (T^{2n+1-1}-T^{2n+1-2}+T^{2n+1-3}- \cdots +T^2-T^1+T^0) \\ = \sum_{k=0}^{2n} ((-1)^{k} \times T^{2n+1-1-k}) \\ = \sum_{k=0}^{2n} ((-1)^{k} \times (a^{b})^{2n-k}) $$
となると思います。
$a,b,n$を自然数とした場合、分数がなくなり整数になったので、おそらく割り切れたといえるのでしょうか。

考察

フェルマー数は、「$2^{2^n}+1$が素数になるのでは？」という数でした。
今回の式は「底に関係なく、指数が$2^n$以外だと割り切れてしまう（素数じゃない）」という感じになるのでしょうか。指数が$2^n$だった場合、展開時に不都合が出てきそうですね。

終わりに

今回の式を考えるようになったきっかけは、昔流行した（？）「3桁の数字を2回並べると7で割り切れる」というものでした。
これは、1001が7で割り切れるという理由です。
今回の式では$2^n$桁以外の数字なら同じ理由で$a$を10にして商が求められると思います。底が自由なのでn進数でも似たようなことができると思います。
タイトルの方も「割り切れる数について」とさせていただきました。