We will see the Hirzebruch-Riemann-Roch theorem as the generalization of classical Riemann-Roch theorem for Riemann Surface. 

&&&thm Hirzebruch-Riemann-Roch Theorem
For a compact complex manifold $X$ and the complex vector bundle $\pi:E\longrightarrow X$,
$$
  \chi\left(X, E\right)= \int_{M}{\rm ch}\left(E\right){\rm Td}\left(E\right)  
$$
where $\chi\left(X, E\right)$, ${\rm ch}\left(E\right)$, and ${\rm Td}\left(E\right)$ are **Euler characteristics**, **Chern Character**, and **Todd class**.
&&&


Hirzebruch-Riemann-Roch Theorem and Riemann Surface

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