漸化式と数列の極限

• (1)の証明

  
  $\underset{x\in [a_0,k]}{inf}\{f(x)-x\}>t>0$となる$t$を用いて、$x\in [a_0,k]$のとき常に
  $$f(x)-x>t$$
  となるから、$a_n\in [a_0,k]$ならば
  $$a_{n+1}>a_n+t$$
  である。
  よって$N$が自然数で$a_N\ge a_0$ならば$k>a_N$とすると$a_{N+1}>a_N$が従うので$\{a_n\}$は単調増加な数列である。
  全ての非負整数$n$で$a_n<M$となる定数$M$が存在すると仮定すると、$k=M$とすればどんな$n$でも常に$a_{n+1}>a_n+t$が成り立つ。
  ゆえに
  $$a_n>a_0+tn$$
  であるが、
  $n>\frac{M-a_0}{t}$のとき
  $$a_n>a_0+tn>M$$
  となり矛盾が生じるので、数列$\{a_n\}$は有界でない。
  したがって、数列$\{a_n\}$非有界な単調増加数列であるから正の無限大に発散する。
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  (2)の証明

  
  $g(x)=-f(-x)$とすると無限数列$\{-a_n{\}}_{n=0,1,2,\cdots }$は常に$-a_{n+1}=g(-a_n)$を満たし、任意の$k^{\prime }>-a_0$で
  $$\begin{array}{rcl}\underset{x\in [-a_0,k^{\prime }]}{inf}\{g(x)-x\}& =& \underset{x\in [-a_0,k^{\prime }]}{inf}\{-f(-x)-x\}\\ & =& \underset{x\in [-a_0,k^{\prime }]}{inf}\{-f(-x)-x\}\\ & =& \underset{x\in [-k^{\prime },a_0]}{inf}\{-f(x)+x\}\\ & =& \underset{x\in [-k^{\prime },a_0]}{inf}(-\{f(x)-x\})\\ & =& -(\underset{x\in [-k^{\prime },a_0]}{sup}\{f(x)-x\})\\ & >& 0\end{array}$$
  よって(1)より、数列$\{-a_n\}$は正の無限大に発散するので、数列$\{a_n\}$は負の無限大に発散する。
  
  
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  (3)の証明

  区間$[a_0,\alpha ]$において$f(x)$は(狭義)単調増加であり、$f(x)>x$であるので$a_n\in [a_0,\alpha )$ならば
  $$a_n<f(a_n)<f(\alpha )$$
  すなわち$$a_n<a_{n+1}<\alpha$$
  ゆえに$a_{n+1}\in (a_n,\alpha )$であるので、全ての$n$に対して$$a_n<a_{n+1}<\alpha$$となる。
  よって、数列$\{a_n\}$は上に有界な単調増加数列なので極限値をもつ。
  $n\ge 1$のとき$a_0<a_n<\alpha$であるから、その極限値は$a_0$より大きいが$\alpha$以下である。
  ここで、任意の$k\in (a_0,\alpha )$に対して$\underset{x\in [a_0,k)}{inf}\{f(x)-x\}>t>0$となる実数$t$が存在するので、$x\in [a_0,k)$のとき$f(x)-x>t$となるから、$N$が自然数で$a_N<k$ならば$0\le n\le N$となるすべての$n$で
  $$a_{n+1}>a_n+t$$
  となる。
  全ての非負整数$n$で$a_n<M$となる定数$M\in (a_0,\alpha )$が存在すると仮定すると、$k=M$とすればどんな$n$でも常に$a_{n+1}>a_n+t$が成り立つ。
  ゆえに
  $$a_n>a_0+tn$$
  であるが、
  $n>\frac{M-a_0}{t}$のとき
  $$a_n>a_0+tn>M$$
  となり矛盾が生じるので、$a_n<M$となる定数$M$は区間$(a_0,\alpha )$には存在しないから、数列$\{a_n\}$の極限値は$\alpha$である。
  
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  (4)の証明

  
  $g(x)=-f(-x)$とすると無限数列$\{-a_n{\}}_{n=0,1,2,\cdots }$は常に$-a_{n+1}=g(-a_n)$を満たし、区間$[-\alpha ,-a_0]$において$g(x)$は(狭義)単調増加で、$g(-\alpha )=-\alpha$であり、任意の$k^{\prime }\in (-\alpha ,-a_0)$で$$\begin{array}{rcl}\underset{x\in [-a_0,k^{\prime }]}{inf}\{g(x)-x\}& =& \underset{x\in [-a_0,k^{\prime }]}{inf}\{-f(-x)-x\}\\ & =& \underset{x\in [-a_0,k^{\prime }]}{inf}\{-f(-x)-x\}\\ & =& \underset{x\in [-k^{\prime },a_0]}{inf}\{-f(x)+x\}\\ & =& \underset{x\in [-k^{\prime },a_0]}{inf}(-\{f(x)-x\})\\ & =& -(\underset{x\in [-k^{\prime },a_0]}{sup}\{f(x)-x\})\\ & >& 0\end{array}$$
  よって(3)より、数列$\{-a_n\}$は収束して、その極限値は$-\alpha$である。
  したがって、数列$\{a_n\}$の極限値は$\alpha$である。
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  (5)の証明

  $g(x)=f(x)-x$とおくと、$a_0<a_2<a_1$より、
  $$\begin{gathered} g(a_0)=f(a_0)-a_0=a_1-a_0>0, \\ g(a_1)=f(a_1)-a_1=a_2-a_1<0 \end{gathered}$$
  である。$g(x)$は区間$[a_0,a_1]$において連続であるから、中間値の定理より、$a_0<\alpha <a_1$かつ$g(\alpha )=0$を満たす実数$\alpha$が存在する。
  また、$a_0\le x\le a_1$のとき$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1\le -1$であるから、$g(x)$はこの区間において(狭義)単調減少であるから、$g(x)=0$を満たす実数$x$は区間$[a_0,a_1]$にはただ１つ存在する。
  よって、$a_k=a_{k+1}$とすると、$a_k=f(a_k)$より、$a_k=\alpha$であり、$a_n=\alpha (n\ge k)$となるので、数列$\{a_n\}$は$\alpha$に収束する。
  以下、全ての非負整数$k$に対して$a_k\ne a_{k+1}$とする。
  区間$I_n$を$\begin{array}{r}{I}_n=\{\begin{array}{l}[a_n,a_{n+1}](a_n<a_{n+1})\\ [a_{n+1},a_n](a_{n+1}<a_n)\end{array}\end{array}$とするとき、全ての非負整数$n$に対して$a_{n+2}\in I_n$となることを示す。
  $a_{k+2}\in I_k(k\ge 0)$を仮定すると、$I_{k+1}\subset I_k$であるから、全ての非負整数$n$に対して、$I_n\subset I_0$である。
  $f(x)$は区間$[a_0,a_1]$において、$f^{\prime }(x)\le 0$であるから、
  
  • [1]$a_k<a_{k+1}$のとき、
    $$a_k\le a_{k+2}\le a_{k+1}$$より、
    $$f(a_k)\ge f(a_{k+2})\ge f(a_{k+1})$$
    すなわち、$$a_{k+2}\le a_{k+3}\le a_{k+1}$$
    よって、$a_{k+3}\in I_{k+1}$
    [2]$a_k>a_{k+1}$のとき、
    $$a_k\ge a_{k+2}\ge a_{k+1}$$より、
    $$f(a_k)\le f(a_{k+2})\le f(a_{k+1})$$
    すなわち、$$a_{k+2}\ge a_{k+3}\ge a_{k+1}$$
    よって、$a_{k+3}\in I_{k+1}$
    
    [1],[2]と$a_2\in I_0$から、全ての非負整数$n$に対して$a_{n+2}\in I_n$となることが示された。
    ゆえに、全ての非負整数$n$に対して$a_n\in I_0$である。
    区間$I_n^{\prime }$を$\begin{array}{r}{I}_n^{\prime }=\{\begin{array}{l}[a_n,\alpha ](a_n<\alpha )\\ [\alpha ,a_n](\alpha <a_n)\end{array}\end{array}$とする.
    区間$I_n^{\prime }$において、平均値の定理から、
    $$\frac{f(a_n)-f(\alpha )}{a_n-\alpha }=f^{\prime }(c),c\in I_n^{\prime }$$を満たす実数$c$が存在する。
    $a_n,\alpha \in I_0$より、$I_n^{\prime }\subset I_0$であるから、$a\in I_n^{\prime }$ならば$-1<f^{\prime }(x)\le 0$となる。
    $f(x)$は区間$I_0$において連続微分可能であるから$|f^{\prime }(x)|$は区間$I_n^{\prime }$において連続であるので、$|f^{\prime }(x)|$は区間$I_n^{\prime }$における最大値$M$を持ち、$0\le M<1$となる。
    よって、$$\begin{array}{rcl}\left|\frac{f(a_n)-f(\alpha )}{a_n-\alpha }\right|& =& |f^{\prime }(c)|\\ \left|\frac{a_{n+1}-\alpha }{a_n-\alpha }\right|& \le & M\\ |a_{n+1}-\alpha |& \le & M|a_n-\alpha |\\ |a_n-\alpha |& \le & M^n|a_0-\alpha |\end{array}$$
    $M^n$は$0$に収束するので$|a_n-\alpha |$も$0$に収束する。
    したがって、数列$\{a_n\}$は$\alpha$に収束する。
    

(1')
任意の$k>a_0$で関数$f(x)-x$は区間$[a_0,k]$において連続であるから、$f(x)-x$はこの区間における最小値$m$を持ち、$m>0$であるので、
$$\underset{x\in [a_0,k]}{inf}\{f(x)-x\}=m>0$$
よって(1)より、数列$\{a_n\}$は正の無限大に発散する。

(2')
任意の$k<a_0$で関数$f(x)-x$は区間$[k,a_0]$において連続であるから、$f(x)-x$はこの区間における最大値$M$を持ち、$M<0$であるので、
$$\underset{x\in [k,a_0]}{sup}\{f(x)-x\}=M<0$$
よって(1)より、数列$\{a_n\}$は負の無限大に発散する。

(3')
(3)の証明と同じようにして、数列$\{a_n\}$は$a_0$より大きく$\alpha$以下である極限値を持つことが示せる。
ここで、$f(x)$は区間$[a_0,\alpha ]$において連続であるから、
$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(a_{n-1})\\ & =& f\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\right)\end{array}$$
であるが、$a_0\le x<\alpha$のときは$f(x)>x$なので、数列$\{a_n\}$の極限値は$\alpha$である。

(4')
$g(x)=-f(-x)$とすると無限数列$\{-a_n{\}}_{n=0,1,2,\cdots }$は常に$-a_{n+1}=g(-a_n)$を満たし、区間$[-a_0,-\alpha ]$において$g(x)$は(狭義)単調増加かつ連続で、$g(-\alpha )=-\alpha$であり、区間$[-a_0,-\alpha )$において$g(x)>x$である。
よって(3')より、数列$\{-a_n\}$は収束して、その極限値は$-\alpha$となる。
したがって、数列$\{a_n\}$の極限値は$\alpha$である。