漸化式と数列の極限

• (1)の証明

  
  $\inf_{x\in [a_0,k]}\{f(x)-x\}\gt t \gt 0$となる$t$を用いて、$x\in [a_0,k]$のとき常に
  $$ f(x)-x\gt t$$
  となるから、$a_n\in [a_0,k]$ならば
  $$ a_{n+1}\gt a_n+ t$$
  である。
  よって$N$が自然数で$a_N\geq a_0$ならば$k\gt a_N$とすると$a_{N+1}\gt a_N$が従うので$\{a_n\}$は単調増加な数列である。
  全ての非負整数$n$で$a_n\lt M$となる定数$M$が存在すると仮定すると、$k=M$とすればどんな$n$でも常に$a_{n+1}\gt a_n+ t$が成り立つ。
  ゆえに
  $$ a_n\gt a_0+tn$$
  であるが、
  $n\gt\frac{M-a_0}{t}$のとき
  $$　a_n\gt a_0+tn\gt M$$
  となり矛盾が生じるので、数列$\{a_n\}$は有界でない。
  したがって、数列$\{a_n\}$非有界な単調増加数列であるから正の無限大に発散する。
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  (2)の証明

  
  $g(x)=-f(-x)$とすると無限数列$\{-a_n\}_{n=0,1,2,\cdots}$は常に$-a_{n+1}=g(-a_n)$を満たし、任意の$k'\gt -a_0$で
  $$ \begin{eqnarray}\inf_{x\in [-a_0,k']}\{g(x)-x\}&=&\inf_{x\in [-a_0,k']}\{-f(-x)-x\}\\ &=&\inf_{x\in [-a_0,k']}\{-f(-x)-x\}\\ &=&\inf_{x\in [-k',a_0]}\{-f(x)+x\}\\ &=&\inf_{x\in [-k',a_0]}\left(-\{f(x)-x\}\right)\\ &=&-\left(\sup_{x\in [-k',a_0]}\{f(x)-x\}\right)\\ &\gt&0\end{eqnarray}$$
  よって(1)より、数列$\{-a_n\}$は正の無限大に発散するので、数列$\{a_n\}$は負の無限大に発散する。
  
  
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  (3)の証明

  区間$[a_0,\alpha]$において$f(x)$は(狭義)単調増加であり、$f(x)\gt x$であるので$a_n\in [a_0,\alpha)$ならば
  $$ a_n\lt f(a_n)\lt f(\alpha)$$
  すなわち$$ a_n\lt a_{n+1}\lt \alpha$$
  ゆえに$a_{n+1}\in (a_n,\alpha)$であるので、全ての$n$に対して$$ a_n\lt a_{n+1}\lt \alpha$$となる。
  よって、数列$\{a_n\}$は上に有界な単調増加数列なので極限値をもつ。
  $n\geq 1$のとき$a_0 \lt a_n\lt \alpha$であるから、その極限値は$a_0$より大きいが$\alpha$以下である。
  ここで、任意の$k\in (a_0,\alpha)$に対して$\inf_{x\in [a_0,k)}\{f(x)-x\}\gt t\gt 0$となる実数$t$が存在するので、$x\in [a_0,k)$のとき$f(x)-x\gt t$となるから、$N$が自然数で$a_N\lt k$ならば$0\leq n \leq N$となるすべての$n$で
  $$ a_{n+1}\gt a_n+ t$$
  となる。
  全ての非負整数$n$で$a_n\lt M$となる定数$M\in(a_0,\alpha)$が存在すると仮定すると、$k=M$とすればどんな$n$でも常に$a_{n+1}\gt a_n+ t$が成り立つ。
  ゆえに
  $$ a_n\gt a_0+tn$$
  であるが、
  $n\gt\frac{M-a_0}{t}$のとき
  $$　a_n\gt a_0+tn\gt M$$
  となり矛盾が生じるので、$a_n\lt M$となる定数$M$は区間$(a_0,\alpha)$には存在しないから、数列$\{a_n\}$の極限値は$\alpha$である。
  
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  (4)の証明

  
  $g(x)=-f(-x)$とすると無限数列$\{-a_n\}_{n=0,1,2,\cdots}$は常に$-a_{n+1}=g(-a_n)$を満たし、区間$[-\alpha,-a_0]$において$g(x)$は(狭義)単調増加で、$g(-\alpha)=-\alpha$であり、任意の$k'\in (-\alpha,-a_0)$で$$ \begin{eqnarray}\inf_{x\in [-a_0,k']}\{g(x)-x\}&=&\inf_{x\in [-a_0,k']}\{-f(-x)-x\}\\ &=&\inf_{x\in [-a_0,k']}\{-f(-x)-x\}\\ &=&\inf_{x\in [-k',a_0]}\{-f(x)+x\}\\ &=&\inf_{x\in [-k',a_0]}\left(-\{f(x)-x\}\right)\\ &=&-\left(\sup_{x\in [-k',a_0]}\{f(x)-x\}\right)\\ &\gt&0\end{eqnarray}$$
  よって(3)より、数列$\{-a_n\}$は収束して、その極限値は$-\alpha$である。
  したがって、数列$\{a_n\}$の極限値は$\alpha$である。
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  (5)の証明

  $g(x)=f(x)-x$とおくと、$a_0\lt a_2\lt a_1$より、
  $$ g(a_0)=f(a_0)-a_0=a_1-a_0\gt 0 ,\\ g(a_1)=f(a_1)-a_1=a_2-a_1\lt 0$$
  である。$g(x)$は区間$[a_0,a_1]$において連続であるから、中間値の定理より、$a_0\lt \alpha\lt a_1$かつ$g(\alpha)=0$を満たす実数$\alpha$が存在する。
  また、$a_0\leq x\leq a_1$のとき$g'(x)=f'(x)-1\leq-1$であるから、$g(x)$はこの区間において(狭義)単調減少であるから、$g(x)=0$を満たす実数$x$は区間$[a_0,a_1]$にはただ１つ存在する。
  よって、$a_k= a_{k+1}$とすると、$a_k= f(a_k)$より、$a_k=\alpha$であり、$a_n=\alpha(n\geq k)$となるので、数列$\{a_n\}$は$\alpha$に収束する。
  以下、全ての非負整数$k$に対して$a_k\neq a_{k+1}$とする。
  区間$I_n$を$ \begin{eqnarray}I_n= \left\{ \begin{array}{l} [a_n,a_{n+1}] \quad (a_n\lt a_{n+1}) \\ [a_{n+1},a_n] \quad (a_{n+1}\lt a_n) \end{array} \right. \end{eqnarray} $とするとき、全ての非負整数$n$に対して$a_{n+2}\in I_n$となることを示す。
  $a_{k+2}\in I_k(k\geq0)$を仮定すると、$I_{k+1}\subset I_k$であるから、全ての非負整数$n$に対して、$I_n\subset I_0$である。
  $f(x)$は区間$[a_0,a_1]$において、$f'(x)\leq0$であるから、
  
  • [1]$a_k\lt a_{k+1}$のとき、
    $$ a_k\leq a_{k+2}\leq a_{k+1}$$より、
    $$　f(a_k)\geq f(a_{k+2})\geq f(a_{k+1})$$
    すなわち、$$　a_{k+2}\leq a_{k+3}\leq a_{k+1}$$
    よって、$a_{k+3}\in I_{k+1}$
    [2]$a_k\gt a_{k+1}$のとき、
    $$ a_k\geq a_{k+2}\geq a_{k+1}$$より、
    $$　f(a_k)\leq f(a_{k+2})\leq f(a_{k+1})$$
    すなわち、$$　a_{k+2}\geq a_{k+3}\geq a_{k+1}$$
    よって、$a_{k+3}\in I_{k+1}$
    
    [1],[2]と$a_2\in I_0$から、全ての非負整数$n$に対して$a_{n+2}\in I_n$となることが示された。
    ゆえに、全ての非負整数$n$に対して$a_n\in I_0$である。
    区間$I'_n$を$ \begin{eqnarray}I'_n= \left\{ \begin{array}{l} [a_n,\alpha] \quad (a_n\lt \alpha) \\ [\alpha,a_n] \quad (\alpha\lt a_n) \end{array} \right. \end{eqnarray} $とする.
    区間$I'_n$において、平均値の定理から、
    $$ \frac{f(a_n)-f(\alpha)}{a_n-\alpha}=f'(c),c\in I'_n$$を満たす実数$c$が存在する。
    $a_n,\alpha\in I_0$より、$I'_n\subset I_0$であるから、$a\in I'_n$ならば$-1\lt f'(x)\leq 0$となる。
    $f(x)$は区間$I_0$において連続微分可能であるから$|f'(x)|$は区間$I'_n$において連続であるので、$|f'(x)|$は区間$I'_n$における最大値$M$を持ち、$0\leq M\lt 1$となる。
    よって、$$ \begin{eqnarray}\left|\frac{f(a_n)-f(\alpha)}{a_n-\alpha}\right|&=&\left|f'(c)\right| \\ \left|\frac{a_{n+1}-\alpha}{a_n-\alpha}\right|& \leq & M \\ \left|a_{n+1}-\alpha\right|& \leq & M\left|a_n-\alpha\right|\\ \left|a_n-\alpha\right|& \leq & M^n\left|a_0-\alpha\right| \end{eqnarray}$$
    $M^n$は$0$に収束するので$|a_n-\alpha|$も$0$に収束する。
    したがって、数列$\{a_n\}$は$\alpha$に収束する。
    

(1')
任意の$k\gt a_0$で関数$f(x)-x$は区間$[a_0,k]$において連続であるから、$f(x)-x$はこの区間における最小値$m$を持ち、$m\gt 0$であるので、
$$ \inf_{x\in [a_0,k]}\{f(x)-x\}=m\gt0$$
よって(1)より、数列$\{a_n\}$は正の無限大に発散する。

(2')
任意の$k\lt a_0$で関数$f(x)-x$は区間$[k,a_0]$において連続であるから、$f(x)-x$はこの区間における最大値$M$を持ち、$M\lt 0$であるので、
$$ \sup_{x\in [k,a_0]}\{f(x)-x\}=M\lt 0$$
よって(1)より、数列$\{a_n\}$は負の無限大に発散する。

(3')
(3)の証明と同じようにして、数列$\{a_n\}$は$a_0$より大きく$\alpha$以下である極限値を持つことが示せる。
ここで、$f(x)$は区間$[a_0,\alpha]$において連続であるから、
\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}a_n&=& \lim_{n \to \infty}f(a_{n-1})\\ &=&f\left(\lim_{n \to \infty}a_n\right) \end{eqnarray}
であるが、$a_0\leq x \lt \alpha$のときは$f(x)\gt x$なので、数列$\{a_n\}$の極限値は$\alpha$である。

(4')
$g(x)=-f(-x)$とすると無限数列$\{-a_n\}_{n=0,1,2,\cdots}$は常に$-a_{n+1}=g(-a_n)$を満たし、区間$[-a_0,-\alpha]$において$g(x)$は(狭義)単調増加かつ連続で、$g(-\alpha)=-\alpha$であり、区間$[-a_0,-\alpha)$において$g(x)\gt x$である。
よって(3')より、数列$\{-a_n\}$は収束して、その極限値は$-\alpha$となる。
したがって、数列$\{a_n\}$の極限値は$\alpha$である。