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高校数学解説
文献あり

素数に関する不等式

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はじめに

こんにちは, numcaです.
この記事では私が以前ツイートした素数に関する不等式の証明をします.

問題

nを正整数とするとき,
i=1n(1+1pi)2>pn+11
を示せ.

pkk番目に小さい素数のことを表します.

証明

任意の正整数nは正整数mと無平方数kによってn=m2kの形に一意的に表せる.

無平方数とは1より大きい平方数で割り切れないような正整数のことです.

nを素因数分解した形で
i=1piai
と表し, ai=2bi+ci(ci=0,1)とおくと
m=i=1pibi,k=i=1pici
と一意に定まる.

nを正整数とするとき, m2knなる正整数mと無平方数kの組(m,k)はちょうどn個存在する.

補題1よりaを正整数とするとき, m2k=aを満たす正整数mと無平方数kの組(m,k)がちょうど1組存在する.
n以下の正整数はちょうどn個存在するから, (m,k)n組存在する.

nを正整数とするとき, n以下の無平方数kすべてについてのnkの総和はnである.

m2knなる正整数mと無平方数kの組(m,k)の組数を数える.
無平方数kを固定したとき, m2knなる正整数mnk個ある. よって補題1よりn以下の無平方数kすべてについてのnkの総和は(m,k)の組数と等しく, 補題2よりこれはnに等しい.

nを正整数とするとき, n以下の無平方数はすべてn#の約数である.

n#n以下の素数を全て掛け合わせたものを表します.

n以下の無平方数knより大きい素因数を持ちえない.
よってn以下の最大の素数をpmと表すと
n#=i=1mpi,k=i=1mpici(ci=0,1)
と表されるから,
n#k=i=1mpi1ci
であり, これは整数である.

nを正整数とするとき,
d|n#nd=n
が成立する.

dnの部分の総和は補題3, 補題4よりnである.
d>nの部分の総和はすべての項が0になるため0である.
よって全体の総和はn+0=nである.

補題5より
d|pn#pn+11d>d|pn#pn+11d=pn+11
が成立します.
また,
d|pn#pn+11d=pn+11d|pn#1d=pn+11i=1n(1+1pi)
が成立します.
以上より,
pn+11i=1n(1+1pi)>pn+11i=1n(1+1pi)>pn+11i=1n(1+1pi)2>pn+11
となり, 示されました.

参考文献

投稿日:2022727
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