一般化ガンマ分布に従う確率変数の対数の期待値

次の密度関数 $f(x;a,b,k)$ を持つ確率分布を一般化ガンマ分布（generalized gamma distribution）という.

$$\begin{array}{r}f(x;a,b,k)=\frac{(k/b^a)x^{a-1}\exp {(-(x/b)}^k)}{\mathrm{\Gamma }(a/k)},x>0.\end{array}$$

$(a,b,k)$ はすべて正の値を取るパラメータである.

$(a,b,k)$ の値をいくつか適当に選んでプロットしたものが図1である.

一般化ガンマ分布の密度関数

確率変数 $X$ が一般化ガンマ分布に従うことを $X\sim \mathrm{GG}(a,b,k)$ と書くことにする.

いま, $X$ の自然対数をとった確率変数 $\log X$ の期待値 $E[\log X]$ を求めたい（そういうのを求めたい状況がたまにある）.

その準備として, ガンマ関数の定義を確認すると,

$$\begin{array}{r}\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}\exp (-t)dt\end{array}$$

である. $u=\log \left(t\right)$ と変数変換すると, $du=dt/t$より, ガンマ関数は,

$$\begin{array}{r}\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (uz-\exp \left(u\right))du\end{array}$$

と書けることがわかる.

さて, 一般化ガンマ分布のパラメータ$b$はスケールパラメータで, $X\sim \mathrm{GG}(a,1,k)$ のとき, $X$を$b$倍した$bX$は $\mathrm{GG}(a,b,k)$ に従う.

そこで, $X\sim \mathrm{GG}(a,1,k)$ の場合を考える.

$$\begin{array}{rl}E[\log X]& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\log \left(x\right)\frac{k{x}^{a-1}\exp (-x^k)}{\mathrm{\Gamma }(a/k)}dx\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a/k)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}k\log \left(x\right)x^a\exp (-x^k)dx/x\end{array}$$

$y=k\log \left(x\right)$と置き, $dy/k=dx/x$より,

$$\begin{array}{rl}E[\log X]& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a/k)}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y\exp ((a/k)y-\exp \left(y\right))(dy/k)\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a/k)}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\partial }{\partial a}\exp ((a/k)y-\exp \left(y\right))dy\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a/k)}\frac{\partial }{\partial a}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp ((a/k)y-\exp \left(y\right))dy)\\ & =(\frac{\partial }{\partial a}\mathrm{\Gamma }(a/k))\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a/k)}\\ & =\psi (a/k)/k.\end{array}$$

ここで$\psi (z)$はディガンマ関数
$$\psi (z)=\frac{d}{dz}\log \mathrm{\Gamma }(z)$$
である.

$E[\log \left(bX\right)]=E[\log \left(X\right)]+\log \left(b\right)$ なので, $X\sim \mathrm{GG}(a,b,k)$ のときは $E[\log \left(X\right)]=\psi (a/k)/k+\log \left(b\right)$.

検算は Generalized gamma distribution in Julia (GitHub Gist) のように行った.

ちなみに, $X\sim \mathrm{GG}(a,1,k)$ の場合の $E[X]$ を定義通り計算すると,

$$\begin{array}{rl}E[X]& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\frac{k{x}^{a-1}\exp (-x^k)}{\mathrm{\Gamma }(a/k)}dx\\ & =\frac{k}{\mathrm{\Gamma }(a/k)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^a\exp (-x^k)dx.\end{array}$$

ここで $y=x^k$ と置くと, $x=y^{1/k}$, $dx/dy=(1/k)y^{1/k-1}$ より, $x^{a}dx=(1/k)y^{(a+1)/k-1}dy$ なので,

$$\begin{array}{r}E[X]=\frac{\mathrm{\Gamma }((a+1)/k)}{\mathrm{\Gamma }(a/k)}\end{array}$$

であるから, $X\sim \mathrm{GG}(a,b,k)$ のときは $E[X]=b\frac{\mathrm{\Gamma }((a+1)/k)}{\mathrm{\Gamma }(a/k)}$.