文献あり

函数係数微分方程式

はじめに

今回はWikipediaにあった二階線形の函数係数微分方程式についての解説をします。
まず、二階線形型についてですが、$\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)=0$には一般解が書けないと言われています。それもそのはず、解析的に解ける$\displaystyle\big(y'-\alpha(x)y\big)'+\beta(x)\big(y'-\alpha(x)y\big)=0$という一階線形の合成型を考えてみましょう。
展開して、$y'$と$y$に掛かっている部分をそれぞれ見比べ、係数比較のようなことをしてみると、このような連立方程式が出てきます。

$\displaystyle\left\{ \begin{eqnarray} p(x)&=&\beta(x)-\alpha(x) \\ q(x)&=&-\alpha'(x)-\alpha(x)\beta(x) \end{eqnarray} \right.$

これをいじると、非線形項が出てきて解きにくくなります。僕はこれが二階線形の一般解が書けない理由だと考えました。今回はこれの特別な場合を見ていきましょう。

前提知識

二階の定係数が分からなくても、積分因子,定数変化法が分かっていればいいと思います。ヨビノリさんがYouTubeで動画投稿してるのでそちらをご参照ください。

注意点

・参考文献を見つけたので載せておきますが、理解力がなくて我流で解いてます。ですから厳密性に関しては注意していません。
・$\displaystyle e^z$を$\displaystyle\exp{z}$と書く場合があります。
・$\displaystyle C$を複素定数とします。
・解説では基本的に$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$を$\displaystyle y'$と書きます。他の関数も、二階微分も同様です。
・解説では線形結合で表すことを、単に「結合する」と書くこととします。

一覧

$\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2}-xP(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0 \tag{Ⅰ} \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-a\big(a+P(x)\big)y=0 \tag{Ⅱ} \\ \displaystyle P(x)\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2}+(a+bx)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-by=0 \tag{Ⅲ} \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2}-\Big(\frac{1}{2P(x)}・\frac{\mathrm{d}P(x)}{\mathrm{d}x}\Big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0 \tag{Ⅳ} \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2}-\Big(\frac{1}{P(x)}・\frac{\mathrm{d}P(x)}{\mathrm{d}x}\Big)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\big(P(x)\big)^2=0 \tag{Ⅴ} \\ \displaystyle x\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2}+(\alpha+\beta x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\beta y=0 \tag{Ⅵ} \end{eqnarray}$

これ書くのしんどすぎて、、解くのより頑張ったかも知れません(嘘)

解き方

方程式Ⅰ

$\displaystyle y''-xP(x)y'+P(x)y=0\Rightarrow y=x\left(C_1+C_2\int\frac{1}{x^2}\exp{\left(\int xP(x)dx\right)}dx\right)$

試してみると分かりますが、積分因子モドキを掛けてもうんともすんとも行きませんので、違うアプローチが必要と考えました。

解説Ⅰ

変形して、
$\displaystyle y''-P(x)\big(xy'-y\big)=0$
$\displaystyle C_1x$が解であることは直ちに分かります。
定数変化法を使いましょう。
方程式に$C(x)x$を代入して、
$\displaystyle xC''(x)+2C'(x)-x^2P(x)C'(x)=0 \\ \displaystyle C'(x)=C\exp\Big(\int\Big(-\frac{2}{x}+xP(x)\Big)dx\Big)$
$C'(x)$に於ける一階線形型ですから求まりました。
$C_1x$と$C(x)x$を結合して、
$\displaystyle y=x\left(C_1+C_2\int\frac{1}{x^2}\exp\left(\int xP(x)dx\right)dx\right)$

方程式Ⅱ

$\displaystyle y''+P(x)y'-a\big(a+P(x)\big)y=0\Rightarrow y=e^{ax}\Big(C_1+C_2\int\exp\Big(\!-\!2ax\!-\!\int P(x)dx\Big)dx\Big)$

先程とだいたい同じ感じです。

解説Ⅱ

変形して、
$\displaystyle \big(y''-a^2y\big)+P(x)\big(y'-ay\big)=0$
$\displaystyle C_1e^{ax}$はこれを満たします。

$\displaystyle C(x)e^{ax}$を代入して、
$C''(x)+2aC'(x)+P(x)C'(x)=0 \\ \displaystyle C'(x)=C_2\exp\Big(\!-\!2ax\!-\!\int P(x)dx\Big)$

結合して、
$\displaystyle y=e^{ax}\Big(C_1+C_2\int\exp\Big(\!-\!2ax\!-\!\int P(x)dx\Big)dx\Big)$

方程式Ⅲ

$\displaystyle P(x)y''+(a+bx)y'-by=0\Rightarrow y=C_1\int\!\int\frac{1}{P(x)}\exp\big(\!-\!\int\frac{a+bx}{P(x)}dx\big)dxdx+C_2\big(x+\frac{a}{b}\big)$

解くのに1番時間かかりました。

解説Ⅲ

方程式Ⅰと同様に、ある解が$y''=0$となることを仮定して話を進めましょう。
$\begin{eqnarray} \displaystyle(a+bx)y'-by=0 \\ y=C\big(x+\frac{a}{b}\big) \end{eqnarray}$
実際これは$y''=0$を満たし、矛盾を生じません。でもこれだけじゃ不十分だと思いますが、実際解は方程式を満たします。
そして、2つ目の解ですが、定数変化法では上手く行きませんでした。理由は分かりません。($y''=0$から出た解だからダメ、とかも考えたんですが、それだと方程式Ⅰが解けたのは説明がつきませんね…。)

辺々微分しましょう。
$\displaystyle\begin{eqnarray} P(x)y''+(a+bx)y'-by &=& 0 \\ P(x)y'''+\big(P'(x)+(a+bx)\big)y'' &=& 0 \\ P(x)\big(y''\exp{\big(\int\frac{P'(x)+a+bx}{P(x)}\big)}\big)' &=& 0 \\ y''\exp{\big(\int\frac{P'(x)+a+bx}{P(x)}\big)} &=& C_1 \end{eqnarray}$
$\displaystyle y=C_1\int\!\int\frac{1}{P(x)}\exp\big(\!-\!\int\frac{a+bx}{P(x)}dx\big)dxdx$
結合して、
$\displaystyle y=C_1\int\!\int\frac{1}{P(x)}\exp\big(\!-\!\int\frac{a+bx}{P(x)}dx\big)dxdx+C_2\big(x+\frac{a}{b}\big)$

方程式Ⅳ

$\displaystyle y''-\Big(\frac{P'(x)}{2P(x)}\Big)y'+P(x)y=0\Rightarrow y=C_1\sin\big(\int \sqrt{P(x)}dx\big)+C_2\cos\big(\int \sqrt{P(x)}dx\big)$

先に方程式Ⅴに挑戦してみるのがいいかも知れません。その方が易しいです。

解説Ⅳ

$\displaystyle y=\exp{\big(f(x)\big)}$を代入。
$\displaystyle f''(x)+\big(f'(x)\big)^2-\frac{P'(x)}{2P(x)}f'(x)+P(x)=0$
これは$\displaystyle f'(x)=\pm i\sqrt{P(x)}$が解です(方程式Ⅴはこれ(リッカチ型)を解くのが少し簡単)。
$\displaystyle y=\exp{\big(f(x)\big)}$に代入して結合。
$\displaystyle y=C_1\sin\big(\int \sqrt{P(x)}dx\big)+C_2\cos\big(\int \sqrt{P(x)}dx\big)$

方程式Ⅴ

$\displaystyle y''-\Big(\frac{P'(x)}{P(x)}\Big)y'-\big(P(x)\big)^2y=0\Rightarrow y=C_1\exp{\big(\int P(x)dx\big)}+C_2\exp{\big(\!-\!\int P(x)dx\big)}$

先程と同様の手順です。

解説Ⅴ

$\displaystyle y=\exp{\big(f(x)\big)}$を代入。
$\displaystyle\begin{eqnarray} f''(x)+\big(f'(x)\big)^2-\frac{P'(x)}{P(x)}f'(x)-\big(P(x)\big)^2 &=& 0 \\ \frac{1}{P(x)}\big(P(x)f''(x)-P'(x)f'(x)\big) \\ +\big(f'(x)-P(x)\big)\big(f'(x)+P(x)\big) &=& 0 \\ f'(x) &=& \pm P(x) \end{eqnarray}$
$\displaystyle y=\exp{\big(f(x)\big)}$に代入して結合。
$\displaystyle y=C_1\exp{\big(\int P(x)dx\big)}+C_2\exp{\big(\!-\!\int P(x)dx\big)}$

方程式Ⅵ

$\displaystyle xy''+(\alpha+\beta x)y'+\beta y=0\Rightarrow y=x^{1-\alpha}e^{-\beta x}\Big(C_1\int x^{\alpha-2}e^{\beta x}dx+C_2\Big)$

解法3つ見つかりました。なぜこんなに見つかるかと言うと、方程式Ⅲで試したたくさんの技をこっちで使うと上手くいったからです。
まず、解法1ですが、これははじめに出した連立方程式と同じような式を作るやり方です。

解説Ⅵ(解法1)

$p,q$を$x$の関数とします。
まず、命題の左辺が
$\displaystyle x(y'-py)'+q(y'-py)$となって欲しいので、展開して$y',y$の係数を比較します。
$\displaystyle\left\{ \begin{eqnarray} \alpha+\beta x &=& -px+q \tag{*} \\ \beta &=& -p'x-pq \tag{**} \\ \end{eqnarray}\right.$
$*$から、
$\displaystyle\begin{eqnarray} p &=& \frac{q-\alpha-\beta x}{x} \\ p' &=& \frac{q'x-q+\alpha}{x^2} \end{eqnarray}$

これを$**$に代入。
$\displaystyle \alpha+\beta x=-q'x+q(1+\alpha+\beta x)-q^2$
リッカチ型ですね。片っ端から代入して調べようと思ったのですが、$q=1$がこれを満たしました。
(僕は非線形型のとき、定数、べき関数、指数関数、一次関数と代入して調べるようにしています。)

これを$*$に代入。
$\displaystyle p=\frac{1-\alpha}{x}-\beta$
$p,q$の正体がわかったので、元の方程式を解いて代入します。
$\displaystyle\begin{eqnarray} xy''+(\alpha+\beta x)y'+\beta y &=& 0 \\ x(y'-py)'+q(y'-py) &=& 0 \\ y'-py &=& C_1\exp{\big(-\int\frac{p}{x}dx\big)} \\ y &=& \exp{\Big(\int p dx\Big)}\Big(C_1\int \exp{\big(-\int\big(p+\frac{q}{x}\big)dx\big)}dx+C_2\Big) \\ &=& \exp{\big((1-\alpha)\log{x}-\beta x\big)} \Big(C_1\int \exp{\big((\alpha-2)\log{x}+\beta x\big)}dx+C_2\Big) \\ &=& x^{1-\alpha}e^{-\beta x}\Big(C_1\int x^{\alpha-2}e^{\beta x}dx+C_2\Big) \end{eqnarray}$

次に、解法2についてですが、結構綺麗な解き方だと思います。非線形は出てきません。

解説Ⅵ(解法2)

$\displaystyle\begin{eqnarray} xy''+(\alpha+\beta x)y'+\beta y &=& 0 \\ x\Big(y'\exp{\Big(\int\frac{\alpha+\beta x}{x}dx\Big)}\Big)'+\beta y\exp{\Big(\int\frac{\alpha+\beta x}{x}dx\Big)} &=& 0 \\ x\Big(y\exp{\Big(\int\frac{\alpha+\beta x}{x}dx\Big)}\Big)''-x\Big(\frac{\alpha+\beta x}{x}y\exp{\Big(\int\frac{\alpha+\beta x}{x}\Big)}\Big)'+\beta y\exp{\Big(\int\frac{\alpha+\beta x}{x}\Big)} &=& 0 \\ xy_1''-(\alpha+\beta x)y_1'+\big(\frac{\alpha}{x}+\beta\big)y_1 &=& 0 \end{eqnarray}$
ここで、$\displaystyle y\exp{\Big(\int\frac{\alpha+\beta x}{x}dx\Big)}=y_1$としました。
出てきた方程式をxで割ると、方程式Ⅰの$\displaystyle P(x)$を$\displaystyle\frac{\alpha+\beta x}{x^2}$、$y$を $y_1$としたものに他なりません。
$y_1$に関する方程式が解けますから、
$\displaystyle\begin{eqnarray} y &=& y_1\exp{\Big(-\int\frac{\alpha+\beta x}{x}dx\Big)} \\ &=& x^{1-\alpha}e^{-\beta x}\Big(C_1\int x^{\alpha-2}e^{\beta x}dx+C_2\Big) \end{eqnarray}$

最後に、解法3ですが、先程よりスッキリした解き方です。非線形は出てきません。

解説 Ⅵ(解法3)

$\displaystyle\begin{eqnarray} xy''+(\alpha+\beta x)y'+\beta y &=& 0 \\ (xy)''-2y'+((\alpha+\beta x)y)' &=& 0 \\ (xy)'-2y+(\alpha+\beta x)y &=& C_1 \\ xy'+(\alpha-1+\beta x)y &=& C_1 \\ x\Big(y\exp{\Big(\int\frac{\alpha-1+\beta x}{x}dx\Big)}\Big)' &=& C_1\exp{\Big(\int\frac{\alpha-1+\beta x}{x}dx\Big)} \\ yx^{\alpha-1}e^{\beta x} &=& C_1\int x^{\alpha-2}e^{\beta x}dx+C_2 \end{eqnarray}$

ボツです。

ボツ

ラプラス変換で解こうとしましたが、最後ブロムウィッチ積分に書き直しても手が進みそうにないですし、諦めました。
かなり省略しますが、どなたかが解いてくださると信じて載せておきます。
$\displaystyle\begin{eqnarray}xy''+(\alpha+\beta x)y'+\beta y &=& 0 \\ -\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}[y''](s)+\alpha\mathcal{L}[y'](s)-\beta\frac{\partial}{\partial s}\mathcal{L}[y'](s)+\beta\mathcal{L}[y] &=& 0 \end{eqnarray}$
$\displaystyle\mathcal{L}[y](s)=\frac{1}{s}(s+\beta)^{\alpha-1}\big(C_1\log{\frac{s}{s+\beta}}+C_2\big)$

ちなみに、今回は出てきていませんが、オイラーの微分方程式$\displaystyle x^2y''+axy'+by=0$をラプラス変換すると
$\displaystyle\big(s^2\frac{\partial^2}{\partial s^2}+(4-a)s\frac{\partial}{\partial s}+2-a+b\big)\mathcal{L}[y](s)=0$
となります。
$\displaystyle\mathcal{L}[y](s)$に於けるオイラーの微分方程式をとけ解けばいいわけですね。
宇宙ネコ
これが例のゴールドエクスペリエンスレクイエムですか？