min-max 定理と max-min 定理

設定

$H$ を Hilbert空間，$a,b:H\times H\to \mathbb{R}$ を以下の条件を満たす正定値対称双線型形式とする：

条件１： $H$ は２つのノルム $\parallel \cdot {\parallel }_a:=\sqrt{a(\cdot ,\cdot )}$, $\parallel \cdot {\parallel }_b:=\sqrt{b(\cdot ,\cdot )}$ についてそれぞれ完備である

条件２：$b$ は $a$ に関してコンパクトである．すなわち，$\parallel \cdot {\parallel }_a$ に関して有界な任意の点列 $\{v_n\}\subset H$ は $\parallel \cdot {\parallel }_b$ に関する収束部分列をもつ．

以下の固有値問題の固有値を $0<{\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ..$ とし，${\lambda }_k$ に属する $\parallel \cdot {\parallel }_b$ で正規化された固有ベクトルを $u_k$ とする．

Find $\lambda \in \mathbb{R}$, $u\in H$ such that
$$a(u,v)=\lambda b(u,v)v\in H.$$
レイリー商 $R:H\to \mathbb{R}$ を
$$R(v):=\frac{a(v,v)}{b(v,v)}$$
によって定める．

min-max 定理

第 $k$ 固有値 ${\lambda }_k$ に対して，
$${\lambda }_k=\underset{V^k\subset H}{min}\underset{v\in V^k}{max}R(v)$$
が成り立つ．ただし，$V^k$ は $H$ の任意の $k$ 次元部分空間を動く．
（証明）
まず，$H$ の $k$ 次元部分空間として $V^k:=\text{span}\{u_1,u_2,..,u_k\}$ をとると，
$$\underset{v\in V^k}{max}R(v)=\underset{|(x_1,..,x_k)|=1}{max}(x_1^2{\lambda }_1+x_2^2{\lambda }_2+..+x_k^2{\lambda }_k)\le {\lambda }_k$$
が分かる．よって
$$\underset{V^k\subset H}{inf}\underset{v\in V^k}{max}R(v)\le {\lambda }_k$$
となる．

$V^k$ を $H$ の任意の $k$ 次元部分空間とする． するとある番号 $l(\ge k)$ が存在して， $V^k\cap \text{span}\{u_l\}\ne \mathrm{\varnothing }$ が成り立つ．

よって
$$\underset{v\in V^k}{max}R(v)\ge {\lambda }_l\ge {\lambda }_k$$
となり，
$$\underset{V^k\subset H}{min}\underset{v\in V^k}{max}R(v)\ge {\lambda }_k$$
が成り立つ．以上より主張が証明された．

max-min 定理

第 $k$ 固有値 ${\lambda }_k$ に対して，
$${\lambda }_k=\underset{V^{k-1}\subset H}{max}\underset{v\in V^{k-1,\mathrm{\perp }}}{min}R(v)$$
が成り立つ．ただし，$V^{k-1}$ は $H$ の任意の $k-1$ 次元部分空間を動く．
（証明）
まず，$H$ の $k-1$ 次元部分空間として $V^{k-1}:=\text{span}\{u_1,u_2,..,u_{k-1}\}$ をとると，
$$\underset{v\in V^{k-1,\mathrm{\perp }}}{min}R(v)\ge {\lambda }_k$$
が分かる．よって
$$\underset{V^{k-1}\subset H}{sup}\underset{v\in V^{k-1,\mathrm{\perp }}}{min}R(v)\ge {\lambda }_k$$
となる．

$H$ の $k-1$ 次元部分空間 $V^{k-1}$ を任意にとる． するとある番号 $l(\le k)$ が存在して， $V^{k-1,\mathrm{\perp }}\cap \text{span}\{u_l\}\ne \mathrm{\varnothing }$ が成り立つ．
$$\underset{v\in V^{k-1,\mathrm{\perp }}}{min}R(v)\le {\lambda }_l\le {\lambda }_k$$
となり，
$$\underset{V^{k-1}\subset H}{max}\underset{v\in V^{k-1,\mathrm{\perp }}}{min}R(v)\le {\lambda }_k$$
が成り立つ．以上より主張が証明された．