積分解説10

積分の解説もついに10個目になりました。
これからも解いた積分を記事にしていきます。

2020/11/08に$\tau \rho \iota \alpha$さんが出題した問題です。
https://twitter.com/tria_math/status/1325238811736092674?s=21

[解説]
$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^1{\left(\frac{\log x}{1-x}\right)}^{3}dx\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^1{(\log x)}^3\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n(n+1)x^{n-1}dx\\ & =& \frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n^2+n){\int }_0^1{x}^{n-1}{\log }^{3}xdx\\ & =& -\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n^2+n){\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^3{e}^{-nt}dt(t=e^{-x})\\ & =& -\frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }(4)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2+n}{n^4}\\ & =& -3(\zeta (2)+\zeta (3))\end{array}$
よって、この問題の解答は${\displaystyle -3(\zeta (2)+\zeta (3))}$となります。
指数の部分を別の数字にして計算してみるのも楽しいですね。