積分解説10

積分の解説もついに10個目になりました。
これからも解いた積分を記事にしていきます。

2020/11/08に$\tau\rho\iota\alpha$さんが出題した問題です。
https://twitter.com/tria_math/status/1325238811736092674?s=21

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^1\left( \frac{\log x}{1-x} \right)^3dx\\ &=&\frac12\int_0^1 \left(\log x \right)^3\sum_{n=1}^\infty n(n+1)x^{n-1}dx\\ &=&\frac12\sum_{n=1}^\infty(n^2+n)\int_0^1 x^{n-1}\log^3 x dx\\ &=&-\frac12\sum_{n=1}^\infty(n^2+n)\int_0^\infty t^3e^{-nt}dt~~~~~~~~~~(t=e^{-x})\\ &=&-\frac12\Gamma(4)\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2+n}{n^4}\\ &=&-3(\zeta(2)+\zeta(3) ) \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle -3(\zeta(2)+\zeta(3) )$となります。
指数の部分を別の数字にして計算してみるのも楽しいですね。