自己紹介+簡単に問題（関数方程式）の解説

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自己紹介

　初めまして．fffと申します．自分が解いた問題の備忘録としてちょくちょく投稿しようと思います．「数学めっちゃできるぜww」というような自信は全くないので(得意かも怪しい)多々間違っていることがあると思いますが，大目に見ていただければ幸いです．

自己紹介だけではつまらないかもしれないので，簡単な問題を解いていきたいと思います．

解説

　今回は2004年JMOの関数方程式を解いていきます．
~~この問題はJMOにしては簡単な問題だと思うのでぜひ皆さんも挑戦してみてください！~~

この解法には大きな論証不足がありましたのでこちらで正しい解説をしています．
枠内のどこが間違っているかを探してみてください．

JMO2004 P2

$f (x)$ は実数に対して定義された実数値をとる関数であって，すべての実数 $x, y$ に対して $f (x f (x) + f (y)) = {(f (x))}^{2} + y$ が成立する． $f (x)$ としてありうるものをすべて求めよ．

　初見は定石通り $0$ などの特殊な値の代入で解けそうです．
早速解説していきます．

　 $f (x f (x) + f (y)) = (f (x))^{2} + y$ への代入を $P (x, y)$ と置き， $f (0) = c$ とする．
[R1] $P (0, 0)$ より $f (c) = c^{2}$
[R2] $P (c, - c^{4})$ より $f (c^{3} + f (- c^{4})) = 0$
[R3] $P (c^{3} + f (- c^{4}), c^{3} + f (- c^{4}))$ より $c = c^{3} + f (- c^{4}) (∵ [i i]) ⟹$ $f (c) = 0$
　[i]から $c = 0$
[R4] $P (0, x)$ より $f (f (x)) = x$
[R5] $P (f (x), y)$ より $f (f (x) x + f (y)) = x^{2} + y$
[R6] [v]と元の式 $P (x, y)$ の比較で ${(f (x))}^{2} = x^{2} ⟺ f (x) = \pm x$
　が得られ，実際これらの関数は $P (x, y)$ を満たす．

　従って求める関数は $f (x) = \pm x$

いかがだったでしょうか．自然な感じで代入すれば答えが出てきます．
ちなみに今回は使いませんでしたが，参考までに $f (x)$ が全単射であることの証明もしておきます．（今回は使わなかったが，数オリではよく使う）

全射の証明
[iv]から自明
単射の証明
$f (α) = f (β) ⟹ α = β$ を示す．
$γ = f (α) = f (β)$ と置く．
$P (x, α)$ より $f (x f (x) + γ) = (f (x))^{2} + α$
$P (x, β)$ より $f (x f (x) + γ) = (f (x))^{2} + β$
辺々の差をとれば $α = β$