前回の訂正

　 前の自己紹介の記事 で解説した問題の解法に不備がありこちらで正しい解き方を書いておきます．申し訳ございませんでした．指摘してくださった方々は本当にありがとうございました．(やはりmathlogを読んでいる方々のレベルが高くて勉強になります…)
　まず前回の間違いからですが詳しくは こちら から．

　$f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y$への代入を$P(x,y)$と置き，$f(0)=c$とする．
[R1] $P(0,0)$より$f(c)=c^2$
[R2] $P(c,-c^4)$より$f(c^3+f(-c^4))=0$
[R3] $P(c^3+f(-c^4),c^3+f(-c^4))$より$c=c^3+f(-c^4) (\because [ \rm {ii} ] ) \implies $$f(c)=f(c^3+f(-c^4))=0$
　[i]から$c=0$
[R4] $P(0,x)$より$f(f(x))=x$
[R5] $P(f(x),y)$より$f(xf(x)+f(y))=x^2+y$
この式を$P'(x,y)と置く．$

6. 全単射の証明
   (全射)
   [iv]から自明
   (単射)
   $f(\alpha)=f(\beta) \implies \alpha =\beta$を示す．
   $\gamma =f(\alpha )=f(\beta)$と置く．
   $P(x,\alpha)$より$f(xf(x)+ \gamma)=(f(x))^2+\alpha$
   $P(x,\beta)$より$f(xf(x)+ \gamma)=(f(x))^2+\beta$
   辺々の差をとれば$\alpha = \beta$

7. $P'(x,y)$と$P'(-x,y)$より$f(-xf(-x)+f(y))=f(xf(x)+f(y)$
   $f$は単射であるから$-xf(-x)+f(y)=xf(x)+f(y) \iff f(-x)=-f(x)$
   これは$x=0$も成立．($\therefore f$は奇関数)

8. $P'(x,y)$と$P(x,y)$の比較で$(f(x))^2=x^2$
   $\therefore f(1)=\pm 1$

9. $P'(x,y)$の両辺を$2$乗すると$f(x)f(y)=xy$が任意の$x,y$で成立し，$x,y\neq 0$のとき$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{y}{f(y)}$

• $f(1)=1$のとき
  $y=1$とすると任意の正の実数$x$に対して$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{1}{f(1)}=1 \therefore f(x)=x$
  $f$は奇関数であるから任意の実数$x$で$f(x)=x$
• $f(1)=-1$のとき
  $y=1$とすると任意の正の実数$x$に対して$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{1}{f(1)}=-1 \therefore f(x)=-x$
  $f$は奇関数であるから任意の実数$x$で$f(x)=-x$

以上より求める関数は$f(x)=x,-x$

　これで大丈夫だと思います(また不備があれば DM や 質問箱 までご連絡ください．)
　また冒頭の質問箱の$f(a)=a,f(b)=-b$とする方法については解法が思い浮かびませんでしたので有識者の方は私の DM までご連絡いただけると幸いです．