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前回の訂正

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  前の自己紹介の記事 で解説した問題の解法に不備がありこちらで正しい解き方を書いておきます.申し訳ございませんでした.指摘してくださった方々は本当にありがとうございました.(やはりmathlogを読んでいる方々のレベルが高くて勉強になります…)
 まず前回の間違いからですが詳しくは こちら から.

JMO2004 P2

f(x)は実数に対して定義された実数値をとる関数であって,すべての実数x,yに対してf(xf(x)+f(y))=(f(x))2+yが成立する.f(x)としてありうるものをすべて求めよ.

 f(xf(x)+f(y))=(f(x))2+yへの代入をP(x,y)と置き,f(0)=cとする.
[R1] P(0,0)よりf(c)=c2
[R2] P(c,c4)よりf(c3+f(c4))=0
[R3] P(c3+f(c4),c3+f(c4))よりc=c3+f(c4)([ii])f(c)=f(c3+f(c4))=0
 [i]からc=0
[R4] P(0,x)よりf(f(x))=x
[R5] P(f(x),y)よりf(xf(x)+f(y))=x2+y
この式をP(x,y)

  1. 全単射の証明
    (全射)
    [iv]から自明
    (単射)
    f(α)=f(β)α=βを示す.
    γ=f(α)=f(β)と置く.
    P(x,α)よりf(xf(x)+γ)=(f(x))2+α
    P(x,β)よりf(xf(x)+γ)=(f(x))2+β
    辺々の差をとればα=β

  2. P(x,y)P(x,y)よりf(xf(x)+f(y))=f(xf(x)+f(y)
    fは単射であるからxf(x)+f(y)=xf(x)+f(y)f(x)=f(x)
    これはx=0も成立.(fは奇関数)

  3. P(x,y)P(x,y)の比較で(f(x))2=x2
    f(1)=±1

  4. P(x,y)の両辺を2乗するとf(x)f(y)=xyが任意のx,yで成立し,x,y0のときf(x)x=yf(y)

  • f(1)=1のとき
    y=1とすると任意の正の実数xに対してf(x)x=1f(1)=1f(x)=x
    fは奇関数であるから任意の実数xf(x)=x
  • f(1)=1のとき
    y=1とすると任意の正の実数xに対してf(x)x=1f(1)=1f(x)=x
    fは奇関数であるから任意の実数xf(x)=x

以上より求める関数はf(x)=x,x

 これで大丈夫だと思います(また不備があれば DM 質問箱 までご連絡ください.)
 また冒頭の質問箱のf(a)=a,f(b)=bとする方法については解法が思い浮かびませんでしたので有識者の方は私の DM までご連絡いただけると幸いです.

投稿日:2022817
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