整数係数多項式の根の候補

モチベーション

因数定理において，根の候補を代入して因数を求める操作を求められる場合がある．その際，より効率的に根の候補を見つける方法があるとよいと思われる．

よって，ここではその方法の説明とそれが成り立つことの証明を与える．

定理

(整数係数多項式)=0 の形の方程式が有理数解$\tfrac{q}{p}$をもつならば，$p$は最高次の係数の約数であり，$q$は定数項の約数である．

証明

整数係数方程式$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots\cdots + a_1 x + a_0 = 0$ を考える．

この方程式が有理数解$\tfrac{q}{p}$($p$,$q$は互いに素 $\Leftrightarrow$$\tfrac{q}{p}$は既約分数)をもつとき，もとの方程式に代入すると，$a_n (\tfrac{q}{p})^n + a_{n-1} (\tfrac{q}{p})^{n-1} + \cdots\cdots + a_1 \tfrac{q}{p} + a_0 = 0$

両辺を$p^n$倍すると，$a_n q^n + a_{n-1} q^{n-1} p + \cdots\cdots + a_1 q p^{n-1} + a_0 p^n = 0$

よって

1. 第二項以降はすべて$p$の倍数になる．$\therefore$ $(第一項)＋($p$の倍数の和) = 0$より，第一項も$p$の倍数．
   また，$p$と$q$は互いに素であるから，$a_n q^n$ は$p$の倍数．
   よって，$a_n$が$p$の倍数であるから，$p$は最高次の係数$a_n$の約数．

2. 定数項以外の項はすべて$q$の倍数になる． $\therefore$$(定数項) + ($q$の倍数の和) = 0$ より，定数項も$q$の倍数．
   また，$p$と$q$は互いに素であるから，$a_0 p^n$ は$p$の倍数．
   よって，$a_0$が$q$の倍数であるから，$q$は定数項$a_0$の約数．

したがって，$1.,2.$より，整数係数方程式が有理数解$\tfrac{q}{p}$をもつならば，$p$は最高次の係数の約数であり，$q$は定数項の約数である．