整数係数多項式の根の候補

モチベーション

因数定理において，根の候補を代入して因数を求める操作を求められる場合がある．その際，より効率的に根の候補を見つける方法があるとよいと思われる．

よって，ここではその方法の説明とそれが成り立つことの証明を与える．

定理

(整数係数多項式)=0 の形の方程式が有理数解$\frac{q}{p}$をもつならば，$p$は最高次の係数の約数であり，$q$は定数項の約数である．

証明

整数係数方程式$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots \cdots +a_{1}x+a_0=0$ を考える．

この方程式が有理数解$\frac{q}{p}$($p$,$q$は互いに素 $\iff$$\frac{q}{p}$は既約分数)をもつとき，もとの方程式に代入すると，$a_n(\frac{q}{p}{)}^n+a_{n-1}(\frac{q}{p}{)}^{n-1}+\cdots \cdots +a_1\frac{q}{p}+a_0=0$

両辺を$p^n$倍すると，$a_n{q}^n+a_{n-1}{q}^{n-1}p+\cdots \cdots +a_{1}q{p}^{n-1}+a_0{p}^n=0$

よって

1. 第二項以降はすべて$p$の倍数になる．$\therefore$ $(第一項)＋($p$の倍数の和)=0$より，第一項も$p$の倍数．
   また，$p$と$q$は互いに素であるから，$a_n{q}^n$ は$p$の倍数．
   よって，$a_n$が$p$の倍数であるから，$p$は最高次の係数$a_n$の約数．

2. 定数項以外の項はすべて$q$の倍数になる． $\therefore$$(定数項)+($q$の倍数の和)=0$ より，定数項も$q$の倍数．
   また，$p$と$q$は互いに素であるから，$a_0{p}^n$ は$p$の倍数．
   よって，$a_0$が$q$の倍数であるから，$q$は定数項$a_0$の約数．

したがって，$1.,2.$より，整数係数方程式が有理数解$\frac{q}{p}$をもつならば，$p$は最高次の係数の約数であり，$q$は定数項の約数である．