群の公理を節約せよ!
まえがき
まずは群の定義を思い出そう。
以下この記事を通して、$G$は0項演算$e$, 1項演算$x^{-1}$, 2項演算$xy$を備えた集合とする。($x,y$は変数)
$G$が群$\defarrow$次の公理(Ass)(LI)(RI)(LU)(RU)を満たす.
(Ass) : $(xy)z=x(yz)$
(LI) : $x^{-1}x=e$
(RI) : $xx^{-1}=e$
(LU) : $ex=x$
(RU) : $xe=x$
実は、この5つの公理(Ass)(LI)(RI)(LU)(RU)のうちから2つを省くことができる。(定理2)
公理の節約
(Ass)(LI)(LU)のもとで, $x^2=x~\Rightarrow~x=e$.
$x^2=x$となる$x$に対して,
$$
x
\overset{\rm (LU)}{=} ex
\overset{\rm (LI)}{=} x^{-1}xx
= x^{-1}x
\overset{\rm (LI)}{=} e.
$$
(Ass)(LI)(LU)は群の公理と同値. すなわち,
$G$が群$\Leftrightarrow$$G$が(Ass)(LI)(LU)を満たす.
まず(RI)を示す.
$$
xx^{-1}xx^{-1}
\overset{\rm (LI)}{=} xex^{-1}
\overset{\rm (LU)}{=} xx^{-1}
$$
なので, 補題1より$xx^{-1}=e$.
次に(RU)を示す.
$$
xe
\overset{\rm (LI)}{=} xx^{-1}x
\overset{\rm (RI)}{=} ex
\overset{\rm (LU)}{=} x.
$$
同様に、 (Ass)(RI)(RU)も群の公理と同値である。
意外な反例
一方で、(Ass)(RI)(LU)は群の公理と同値にならない。これは次の例から分かる。
$G:=\{e,a\}$とし, $x\cdot y:=y~(\forall x,y\in G)$, $x^{-1}:=e~(\forall x\in G)$ によって演算を定める.(0項演算は$e$)
すると$G$は(Ass)(RI)(LU)を満たすが, 群にはなっていない.
同様に、(Ass)(LI)(RU)も群の公理と同値にならない。
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