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群の公理を節約せよ!

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まえがき

まずは群の定義を思い出そう。
以下この記事を通して、Gは0項演算e, 1項演算x1, 2項演算xyを備えた集合とする。(x,yは変数)

群の公理

G def 次の公理(Ass)(LI)(RI)(LU)(RU)を満たす.
(Ass) : (xy)z=x(yz)
(LI) : x1x=e
(RI) : xx1=e
(LU) : ex=x
(RU) : xe=x

実は、この5つの公理(Ass)(LI)(RI)(LU)(RU)のうちから2つを省くことができる。(定理2)

公理の節約

(Ass)(LI)(LU)のもとで, x2=x  x=e.

x2=xとなるxに対して,
x=(LU)ex=(LI)x1xx=x1x=(LI)e.

(Ass)(LI)(LU)は群の公理と同値. すなわち,
Gが群G(Ass)(LI)(LU)を満たす.

まず(RI)を示す.
xx1xx1=(LI)xex1=(LU)xx1
なので, 補題1よりxx1=e.
次に(RU)を示す.
xe=(LI)xx1x=(RI)ex=(LU)x.

同様に、 (Ass)(RI)(RU)も群の公理と同値である。

意外な反例

一方で、(Ass)(RI)(LU)は群の公理と同値にならない。これは次の例から分かる。

G:={e,a}とし, xy:=y (x,yG), x1:=e (xG) によって演算を定める.(0項演算はe)
するとG(Ass)(RI)(LU)を満たすが, 群にはなっていない.

同様に、(Ass)(LI)(RU)も群の公理と同値にならない。

投稿日:2022815
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