まずは群の定義を思い出そう。
以下この記事を通して、
(Ass) :
(LI) :
(RI) :
(LU) :
(RU) :
実は、この5つの公理(Ass)(LI)(RI)(LU)(RU)のうちから2つを省くことができる。(定理2)
(Ass)(LI)(LU)のもとで,
(Ass)(LI)(LU)は群の公理と同値. すなわち,
まず(RI)を示す.
なので, 補題1より
次に(RU)を示す.
同様に、 (Ass)(RI)(RU)も群の公理と同値である。
一方で、(Ass)(RI)(LU)は群の公理と同値にならない。これは次の例から分かる。
すると
同様に、(Ass)(LI)(RU)も群の公理と同値にならない。