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大学数学基礎解説
文献あり

Bessel関数メモ

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$$\newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} $$

Bessel関数の定義は以下のようになる.

$$\begin{eqnarray*} J_{\alpha}(x)&:=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(n+\alpha+1)}\left(\frac x2\right)^{2n+\alpha}=\frac 1{\Gamma(\alpha+1)}\left(\frac x2\right)^{\alpha}\F01{-}{\alpha+1}{-\frac{x^2}4}\\ Y_{\alpha}(x)&:=&\frac{J_{\alpha}(x)\cos\pi\alpha-J_{-\alpha}(x)}{\sin\pi\alpha} \end{eqnarray*}$$
ただし, $\alpha$が整数のときは, $Y_{\alpha}$は極限で定義される. $Y_{\alpha}(x)$$N_{\alpha}(x)$と書かれることもある.

$\alpha=m$が整数の場合が特に重要であると考えられる. そのとき,

$$\begin{eqnarray*} J_m(x)&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(n+m)!}\left(\frac x2\right)^{2n+m}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-m}}{(n-m)!n!}\left(\frac x2\right)^{2n-m}\\ &=&(-1)^mJ_{-m}(x) \end{eqnarray*}$$
が成立する. また, 定義より$Y_m(x)=(-1)^mY_m(x)$も容易に分かる. 以下のように, Bessel関数は三角関数の一般化になっている.
$$\begin{eqnarray*} J_{\frac 12}(x)&=&\frac 1{\Gamma\left(\frac 32\right)}\sqrt{\frac x2}\F01{-}{\frac 32}{-\frac{x^2}4}\\ &=&\sqrt{\frac{2x}{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}\\ &=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x\\ \end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*} J_{-\frac 12}(x)&=&\frac 1{\Gamma\left(\frac 12\right)}\sqrt{\frac 2x}\F01{-}{\frac 12}{-\frac{x^2}4}\\ &=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\ &=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} Y_{\frac 12}(x)&=&-J_{-\frac 12}(x)\\ Y_{-\frac 12}(x)&=&J_{\frac 12}(x) \end{eqnarray*}$$

$J_{\alpha}(x), Y_{\alpha}(x)$はBesselの微分方程式,
$$\begin{eqnarray*} x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-\alpha^2)y=0 \end{eqnarray*}$$
を満たす.

この解の別の表示として, Bessel関数を用いて, Hankel関数を以下のように定義する.

$$\begin{eqnarray*} H_{\alpha}^{(1)}(x)&:=&J_{\alpha}(x)+iY_{\alpha}(x)\\ H_{\alpha}^{(2)}(x)&:=&J_{\alpha}(x)-iY_{\alpha}(x) \end{eqnarray*}$$

$\alpha=\pm\frac 12$で計算してみると,
$$\begin{eqnarray*} H_{\frac 12}^{(1)}(x)&=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}(\sin x-i\cos x)=-\sqrt{\frac{2}{\pi x}}ie^{ix}\\ H_{\frac 12}^{(2)}(x)&=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}(\sin x+i\cos x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}ie^{-ix}\\ H_{-\frac 12}^{(1)}(x)&=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}(\cos x+i\sin x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}e^{ix}\\ H_{-\frac 12}^{(2)}(x)&=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}(\cos x-i\sin x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}e^{-ix} \end{eqnarray*}$$
のようになる. つまり, Bessel関数を三角関数的なものとすると, Hankel関数は指数関数的なものと思える. また, 定義から,

$$\begin{eqnarray*} H_{\alpha}^{(1)}(x)&=&J_{\alpha}(x)+i\frac{J_{\alpha}(x)\cos\pi\alpha-J_{-\alpha}(x)}{\sin\pi\alpha}\\ &=&i\frac{J_{\alpha}(x)e^{-i\pi\alpha}-J_{-\alpha}(x)}{\sin\pi\alpha}\\ H_{\alpha}^{(2)}(x)&=&-i\frac{J_{\alpha}(x)e^{i\pi\alpha}-J_{-\alpha}(x)}{\sin\pi\alpha} \end{eqnarray*}$$
と表すことができる.

変形Bessel関数を以下のように定義する.

$$\begin{eqnarray*} I_{\alpha}(x)&:=&i^{-\alpha}J_{\alpha}(ix)=\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\left(\frac x2\right)^{\alpha}\F01{-}{\alpha+1}{\frac{x^2}4}\\ K_{\alpha}(x)&:=&\frac{\pi}2\frac{I_{-\alpha}(x)-I_{\alpha}(x)}{\sin\pi\alpha} \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} H_{\alpha}^{(1)}(x)&=&i\frac{J_{\alpha}(x)e^{-i\pi\alpha}-J_{-\alpha}(x)}{\sin\pi\alpha} \end{eqnarray*}$$
において, $x$$ix$に置き換えてから, $\frac{\pi}2i^{\alpha+1}$を掛けると,
$$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}2i^{\alpha+1}H_{\alpha}^{(1)}(ix)=K_{\alpha}(x) \end{eqnarray*}$$
が得られる. ここで, $K_{\alpha}(x)$の定義に$\frac{\pi}2$が掛かっている理由が気になるところである.

球Bessel関数, 球Hankel関数, 変形球Bessel関数を以下のように定義する.

$$\begin{eqnarray*} j_{\alpha}(x)&:=&\sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{\alpha+\frac 12}(x)\\ n_{\alpha}(x)&:=&\sqrt{\frac{\pi}{2x}}Y_{\alpha+\frac 12}(x)\\ h_{\alpha}^{(r)}(x)&:=&j_{\alpha}(x)+(-1)^{r-1}in_{\alpha}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}H_{\alpha+\frac 12}^{(r)}(x),\quad r=1,2\\ i_{\alpha}(x)&:=&\sqrt{\frac{\pi}{2x}}I_{\alpha+\frac 12}(x)\\ k_{\alpha}(x)&:=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}K_{\alpha+\frac 12}(x) \end{eqnarray*}$$

どれも本質的には$\alpha$$\frac 12$だけずらしたものであるが, 最後の$k_{\alpha}(x)$だけ$\sqrt{\frac{2}{\pi x}}$が掛かっている. $K_{\alpha}$の定義に掛かっていた$\frac{\pi}2$がこれで打ち消しあっている.

ここからは主に通常の第1種と第2種のBessel関数$J_{\alpha}, Y_{\alpha}$の性質を調べる.

$x,t\in\CC$のとき,
$$\begin{eqnarray*} \exp\left(\frac 12x\left(t-\frac 1t\right)\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(x)t^n \end{eqnarray*}$$
が成立する.

$t^n$について整理することにより証明できる.
$$\begin{eqnarray*} \exp\left(\frac 12x\left(t-\frac 1t\right)\right)&=&e^{xt/2}\cdot e^{-x/2t}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\frac{xt}2\right)^n\sum_{m=0}^{\infty}\frac 1{m!}\left(-\frac{x}{2t}\right)^m\\ &=&\sum_{0\leq n,m}\frac{(-1)^m}{n!m!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+m}t^{n-m}\\ &=&\sum_{n=-\infty}^{\infty}t^n\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!(m+n)!}\left(\frac x2\right)^{2m+n}\\ &=&\sum_{n=-\infty}^{\infty}t^nJ_n(x) \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \exp\left(\frac 12(x+y)\left(t-\frac 1t\right)\right)&=&\exp\left(\frac 12x\left(t-\frac 1t\right)\right)\exp\left(\frac 12y\left(t-\frac 1t\right)\right) \end{eqnarray*}$$
$t^n$の係数を比較することによって, 以下を得る.

$x,y\in\CC$に対し,
$$\begin{eqnarray*} J_n(x+y)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}J_k(x)J_{n-k}(y) \end{eqnarray*}$$

前定理において, $t=e^{i\theta}$としてみると,

$$\begin{eqnarray*} e^{ix\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(x)e^{in\theta} \end{eqnarray*}$$
が得られる.

Besselの積分表示

$x\in\CC$に対し,
$$\begin{eqnarray*} J_n(x)=\frac 1{\pi}\int_0^{\pi}\cos(n\theta-x\sin\theta)\,d\theta \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \frac 1{\pi}\int_0^{\pi}\cos(n\theta-x\sin\theta)\,d\theta&=&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(n\theta-x\sin\theta)}\,d\theta\\ &=&\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{in\theta}\sum_{m=-\infty}^{\infty}J_m(x)e^{-im\theta}\,d\theta\\ &=&J_n(x) \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}x^{s-\alpha-1}e^{-x}J_{\alpha}(\beta x)\,dx=\frac{\Gamma(s)}{\Gamma(\alpha+1)}\left(\frac{\beta}2\right)^{\alpha}\F21{\frac{s}2,\frac{s+1}2}{\alpha+1}{-\beta^2} \end{eqnarray*}$$

項別に積分する.
$$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}x^{s-\alpha-1}e^{-x}J_{\alpha}(\beta x)\,dx&=&\int_0^{\infty}x^{s-\alpha-1}e^{-x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(n+\alpha+1)}\left(\frac {\beta x}2\right)^{2n+\alpha}\,dx\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(n+\alpha+1)}\left(\frac{\beta}2\right)^{2n+\alpha}\int_0^{\infty}x^{2n+s-1}e^{-x}\,dx\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\Gamma(2n+s)}{n!\Gamma(n+\alpha+1)}\left(\frac{\beta}2\right)^{2n+\alpha}\\ &=&\frac{\Gamma(s)}{\Gamma(\alpha+1)}\left(\frac{\beta}2\right)^{\alpha}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(s)_{2n}}{n!(\alpha+1)_n}\left(\frac{\beta}2\right)^{2n}\\ &=&\frac{\Gamma(s)}{\Gamma(\alpha+1)}\left(\frac{\beta}2\right)^{\alpha}\F21{\frac{s}2,\frac{s+1}2}{\alpha+1}{-\beta^2} \end{eqnarray*}$$

$\beta$$i\beta$に置き換えて$i^{-\alpha}$倍すると,
$$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}x^{s-\alpha-1}e^{-x}I_{\alpha}(\beta x)\,dx=\frac{\Gamma(s)}{\Gamma(\alpha+1)}\left(\frac{\beta}2\right)^{\alpha}\F21{\frac{s}2,\frac{s+1}2}{\alpha+1}{\beta^2} \end{eqnarray*}$$
を得る. 特に$\beta=1$として, Gaussの超幾何定理を用いると, 以下を得る.

$$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}x^{s-\alpha-1}e^{-x}I_{\alpha}(x)\,dx=\frac{\Gamma(s)\Gamma\left(\alpha-s+\frac 12\right)}{2^{\alpha}\Gamma\left(\alpha-\frac s2+1\right)\Gamma\left(\alpha-\frac s2+\frac 12\right)}=\frac{\Gamma(s)\Gamma\left(\alpha-s+\frac 12\right)}{2^{s-\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha-s+1)} \end{eqnarray*}$$

次に, 指数関数がついていないMellin変換を考える.

$$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}x^{s-\alpha-1}J_{\alpha}(x)\,dx&=&\frac{\Gamma\left(\frac s2\right)}{2^{\alpha-s+1}\Gamma\left(\alpha-\frac s2+1\right)} \end{eqnarray*}$$

Ramanujan's master theoremを用いる.
$$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}x^{s-\alpha-1}J_{\alpha}(x)\,dx&=&\int_0^{\infty}x^{s-1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^2)^n}{2^{2n+\alpha}n!\Gamma(\alpha+n+1)}\,dx\\ &=&\frac 12\int_0^{\infty}x^{\frac s2-1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{2^{2n+\alpha}n!\Gamma(\alpha+n+1)}\\ &=&\frac{\Gamma\left(\frac s2\right)}{2^{\alpha-s+1}\Gamma\left(\alpha-\frac s2+1\right)} \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$$

参考文献

投稿日:2022817

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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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