Bessel関数メモ

Bessel関数の定義は以下のようになる.

$\alpha=m$が整数の場合が特に重要であると考えられる. そのとき,

$$\begin{eqnarray*} J_m(x)&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(n+m)!}\left(\frac x2\right)^{2n+m}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-m}}{(n-m)!n!}\left(\frac x2\right)^{2n-m}\\ &=&(-1)^mJ_{-m}(x) \end{eqnarray*}$$
が成立する. また, 定義より$Y_m(x)=(-1)^mY_m(x)$も容易に分かる. 以下のように, Bessel関数は三角関数の一般化になっている.
$$\begin{eqnarray*} J_{\frac 12}(x)&=&\frac 1{\Gamma\left(\frac 32\right)}\sqrt{\frac x2}\F01{-}{\frac 32}{-\frac{x^2}4}\\ &=&\sqrt{\frac{2x}{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}\\ &=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x\\ \end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*} J_{-\frac 12}(x)&=&\frac 1{\Gamma\left(\frac 12\right)}\sqrt{\frac 2x}\F01{-}{\frac 12}{-\frac{x^2}4}\\ &=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\ &=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} Y_{\frac 12}(x)&=&-J_{-\frac 12}(x)\\ Y_{-\frac 12}(x)&=&J_{\frac 12}(x) \end{eqnarray*}$$

$J_{\alpha}(x), Y_{\alpha}(x)$はBesselの微分方程式,
$$\begin{eqnarray*} x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-\alpha^2)y=0 \end{eqnarray*}$$
を満たす.

この解の別の表示として, Bessel関数を用いて, Hankel関数を以下のように定義する.

$\alpha=\pm\frac 12$で計算してみると,
$$\begin{eqnarray*} H_{\frac 12}^{(1)}(x)&=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}(\sin x-i\cos x)=-\sqrt{\frac{2}{\pi x}}ie^{ix}\\ H_{\frac 12}^{(2)}(x)&=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}(\sin x+i\cos x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}ie^{-ix}\\ H_{-\frac 12}^{(1)}(x)&=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}(\cos x+i\sin x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}e^{ix}\\ H_{-\frac 12}^{(2)}(x)&=&\sqrt{\frac{2}{\pi x}}(\cos x-i\sin x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}e^{-ix} \end{eqnarray*}$$
のようになる. つまり, Bessel関数を三角関数的なものとすると, Hankel関数は指数関数的なものと思える. また, 定義から,

$$\begin{eqnarray*} H_{\alpha}^{(1)}(x)&=&J_{\alpha}(x)+i\frac{J_{\alpha}(x)\cos\pi\alpha-J_{-\alpha}(x)}{\sin\pi\alpha}\\ &=&i\frac{J_{\alpha}(x)e^{-i\pi\alpha}-J_{-\alpha}(x)}{\sin\pi\alpha}\\ H_{\alpha}^{(2)}(x)&=&-i\frac{J_{\alpha}(x)e^{i\pi\alpha}-J_{-\alpha}(x)}{\sin\pi\alpha} \end{eqnarray*}$$
と表すことができる.

変形Bessel関数を以下のように定義する.

$$\begin{eqnarray*} H_{\alpha}^{(1)}(x)&=&i\frac{J_{\alpha}(x)e^{-i\pi\alpha}-J_{-\alpha}(x)}{\sin\pi\alpha} \end{eqnarray*}$$
において, $x$を$ix$に置き換えてから, $\frac{\pi}2i^{\alpha+1}$を掛けると,
$$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}2i^{\alpha+1}H_{\alpha}^{(1)}(ix)=K_{\alpha}(x) \end{eqnarray*}$$
が得られる. ここで, $K_{\alpha}(x)$の定義に$\frac{\pi}2$が掛かっている理由が気になるところである.

球Bessel関数, 球Hankel関数, 変形球Bessel関数を以下のように定義する.

どれも本質的には$\alpha$を$\frac 12$だけずらしたものであるが, 最後の$k_{\alpha}(x)$だけ$\sqrt{\frac{2}{\pi x}}$が掛かっている. $K_{\alpha}$の定義に掛かっていた$\frac{\pi}2$がこれで打ち消しあっている.

ここからは主に通常の第1種と第2種のBessel関数$J_{\alpha}, Y_{\alpha}$の性質を調べる.

$$\begin{eqnarray*} \exp\left(\frac 12(x+y)\left(t-\frac 1t\right)\right)&=&\exp\left(\frac 12x\left(t-\frac 1t\right)\right)\exp\left(\frac 12y\left(t-\frac 1t\right)\right) \end{eqnarray*}$$
の$t^n$の係数を比較することによって, 以下を得る.

前定理において, $t=e^{i\theta}$としてみると,

$$\begin{eqnarray*} e^{ix\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(x)e^{in\theta} \end{eqnarray*}$$
が得られる.

$\beta$を$i\beta$に置き換えて$i^{-\alpha}$倍すると,
$$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}x^{s-\alpha-1}e^{-x}I_{\alpha}(\beta x)\,dx=\frac{\Gamma(s)}{\Gamma(\alpha+1)}\left(\frac{\beta}2\right)^{\alpha}\F21{\frac{s}2,\frac{s+1}2}{\alpha+1}{\beta^2} \end{eqnarray*}$$
を得る. 特に$\beta=1$として, Gaussの超幾何定理を用いると, 以下を得る.

次に, 指数関数がついていないMellin変換を考える.

$$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$$