文献あり

Bessel関数メモ

319

Bessel関数の定義は以下のようになる.

$\begin{array}{rcl} J_{α} (x) & := & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n! Γ (n + α + 1)} {(\frac{x}{2})}^{2 n + α} = \frac{1}{Γ (α + 1)} {(\frac{x}{2})}^{α}_{0} F_{1} [\begin{array}{c} - \\ α + 1 \end{array}; - \frac{x^{2}}{4}] \\ Y_{α} (x) & := & \frac{J_{α} (x) \cos π α - J_{- α} (x)}{\sin π α} \end{array}$
ただし, $α$ が整数のときは, $Y_{α}$ は極限で定義される. $Y_{α} (x)$ は $N_{α} (x)$ と書かれることもある.

$α = m$ が整数の場合が特に重要であると考えられる. そのとき,

$\begin{array}{rcl} J_{m} (x) & = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n! (n + m)!} {(\frac{x}{2})}^{2 n + m} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - m}}{(n - m)! n!} {(\frac{x}{2})}^{2 n - m} \\ = & (- 1)^{m} J_{- m} (x) \end{array}$
が成立する. また, 定義より $Y_{m} (x) = (- 1)^{m} Y_{m} (x)$ も容易に分かる. 以下のように, Bessel関数は三角関数の一般化になっている.
$\begin{array}{rcl} J_{\frac{1}{2}} (x) & = & \frac{1}{Γ (\frac{3}{2})} \sqrt{\frac{x}{2}}_{0} F_{1} [\begin{array}{c} - \\ \frac{3}{2} \end{array}; - \frac{x^{2}}{4}] \\ = & \sqrt{\frac{2 x}{π}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n} \\ = & \sqrt{\frac{2}{π x}} \sin x \end{array}$
$\begin{array}{rcl} J_{- \frac{1}{2}} (x) & = & \frac{1}{Γ (\frac{1}{2})} \sqrt{\frac{2}{x}}_{0} F_{1} [\begin{array}{c} - \\ \frac{1}{2} \end{array}; - \frac{x^{2}}{4}] \\ = & \sqrt{\frac{2}{π x}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} \\ = & \sqrt{\frac{2}{π x}} \cos x \end{array}$

$\begin{array}{rcl} Y_{\frac{1}{2}} (x) & = & - J_{- \frac{1}{2}} (x) \\ Y_{- \frac{1}{2}} (x) & = & J_{\frac{1}{2}} (x) \end{array}$

$J_{α} (x), Y_{α} (x)$ はBesselの微分方程式,
$\begin{array}{r} x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} - α^{2}) y = 0 \end{array}$
を満たす.

この解の別の表示として, Bessel関数を用いて, Hankel関数を以下のように定義する.

$\begin{array}{rcl} H_{α}^{(1)} (x) & := & J_{α} (x) + i Y_{α} (x) \\ H_{α}^{(2)} (x) & := & J_{α} (x) - i Y_{α} (x) \end{array}$

$α = \pm \frac{1}{2}$ で計算してみると,
$\begin{array}{rcl} H_{\frac{1}{2}}^{(1)} (x) & = & \sqrt{\frac{2}{π x}} (\sin x - i \cos x) = - \sqrt{\frac{2}{π x}} i e^{i x} \\ H_{\frac{1}{2}}^{(2)} (x) & = & \sqrt{\frac{2}{π x}} (\sin x + i \cos x) = \sqrt{\frac{2}{π x}} i e^{- i x} \\ H_{- \frac{1}{2}}^{(1)} (x) & = & \sqrt{\frac{2}{π x}} (\cos x + i \sin x) = \sqrt{\frac{2}{π x}} e^{i x} \\ H_{- \frac{1}{2}}^{(2)} (x) & = & \sqrt{\frac{2}{π x}} (\cos x - i \sin x) = \sqrt{\frac{2}{π x}} e^{- i x} \end{array}$
のようになる. つまり, Bessel関数を三角関数的なものとすると, Hankel関数は指数関数的なものと思える. また, 定義から,

$\begin{array}{rcl} H_{α}^{(1)} (x) & = & J_{α} (x) + i \frac{J_{α} (x) \cos π α - J_{- α} (x)}{\sin π α} \\ = & i \frac{J_{α} (x) e^{- i π α} - J_{- α} (x)}{\sin π α} \\ H_{α}^{(2)} (x) & = & - i \frac{J_{α} (x) e^{i π α} - J_{- α} (x)}{\sin π α} \end{array}$
と表すことができる.

変形Bessel関数を以下のように定義する.

$\begin{array}{rcl} I_{α} (x) & := & i^{- α} J_{α} (i x) = \frac{1}{Γ (α + 1)} {(\frac{x}{2})}^{α}_{0} F_{1} [\begin{array}{c} - \\ α + 1 \end{array}; \frac{x^{2}}{4}] \\ K_{α} (x) & := & \frac{π}{2} \frac{I_{- α} (x) - I_{α} (x)}{\sin π α} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} H_{α}^{(1)} (x) & = & i \frac{J_{α} (x) e^{- i π α} - J_{- α} (x)}{\sin π α} \end{array}$
において, $x$ を $i x$ に置き換えてから, $\frac{π}{2} i^{α + 1}$ を掛けると,
$\begin{array}{r} \frac{π}{2} i^{α + 1} H_{α}^{(1)} (i x) = K_{α} (x) \end{array}$
が得られる. ここで, $K_{α} (x)$ の定義に $\frac{π}{2}$ が掛かっている理由が気になるところである.

球Bessel関数, 球Hankel関数, 変形球Bessel関数を以下のように定義する.

$\begin{array}{rcl} j_{α} (x) & := & \sqrt{\frac{π}{2 x}} J_{α + \frac{1}{2}} (x) \\ n_{α} (x) & := & \sqrt{\frac{π}{2 x}} Y_{α + \frac{1}{2}} (x) \\ h_{α}^{(r)} (x) & := & j_{α} (x) + (- 1)^{r - 1} i n_{α} (x) = \sqrt{\frac{π}{2 x}} H_{α + \frac{1}{2}}^{(r)} (x), r = 1, 2 \\ i_{α} (x) & := & \sqrt{\frac{π}{2 x}} I_{α + \frac{1}{2}} (x) \\ k_{α} (x) & := & \sqrt{\frac{2}{π x}} K_{α + \frac{1}{2}} (x) \end{array}$

どれも本質的には $α$ を $\frac{1}{2}$ だけずらしたものであるが, 最後の $k_{α} (x)$ だけ $\sqrt{\frac{2}{π x}}$ が掛かっている. $K_{α}$ の定義に掛かっていた $\frac{π}{2}$ がこれで打ち消しあっている.

ここからは主に通常の第1種と第2種のBessel関数 $J_{α}, Y_{α}$ の性質を調べる.

$x, t \in C$ のとき,
$\begin{array}{r} \exp (\frac{1}{2} x (t - \frac{1}{t})) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} J_{n} (x) t^{n} \end{array}$
が成立する.

$t^{n}$ について整理することにより証明できる.
$\begin{array}{rcl} \exp (\frac{1}{2} x (t - \frac{1}{t})) & = & e^{x t / 2} \cdot e^{- x / 2 t} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(\frac{x t}{2})}^{n} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{1}{m!} {(- \frac{x}{2 t})}^{m} \\ = & \sum_{0 \leq n, m} \frac{(- 1)^{m}}{n! m!} {(\frac{x}{2})}^{n + m} t^{n - m} \\ = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} t^{n} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{m! (m + n)!} {(\frac{x}{2})}^{2 m + n} \\ = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} t^{n} J_{n} (x) \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \exp (\frac{1}{2} (x + y) (t - \frac{1}{t})) & = & \exp (\frac{1}{2} x (t - \frac{1}{t})) \exp (\frac{1}{2} y (t - \frac{1}{t})) \end{array}$
の $t^{n}$ の係数を比較することによって, 以下を得る.

$x, y \in C$ に対し,
$\begin{array}{r} J_{n} (x + y) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} J_{k} (x) J_{n - k} (y) \end{array}$

前定理において, $t = e^{i θ}$ としてみると,

$\begin{array}{r} e^{i x \sin θ} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} J_{n} (x) e^{i n θ} \end{array}$
が得られる.

Besselの積分表示

$x \in C$ に対し,
$\begin{array}{r} J_{n} (x) = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} \cos (n θ - x \sin θ) d θ \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{π} \int_{0}^{π} \cos (n θ - x \sin θ) d θ & = & \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} e^{i (n θ - x \sin θ)} d θ \\ = & \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} e^{i n θ} \sum_{m = - \infty}^{\infty} J_{m} (x) e^{- i m θ} d θ \\ = & J_{n} (x) \end{array}$

$\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} x^{s - α - 1} e^{- x} J_{α} (β x) d x = \frac{Γ (s)}{Γ (α + 1)} {(\frac{β}{2})}^{α}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} \frac{s}{2}, \frac{s + 1}{2} \\ α + 1 \end{array}; - β^{2}] \end{array}$

項別に積分する.
$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} x^{s - α - 1} e^{- x} J_{α} (β x) d x & = & \int_{0}^{\infty} x^{s - α - 1} e^{- x} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n! Γ (n + α + 1)} {(\frac{β x}{2})}^{2 n + α} d x \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n! Γ (n + α + 1)} {(\frac{β}{2})}^{2 n + α} \int_{0}^{\infty} x^{2 n + s - 1} e^{- x} d x \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} Γ (2 n + s)}{n! Γ (n + α + 1)} {(\frac{β}{2})}^{2 n + α} \\ = & \frac{Γ (s)}{Γ (α + 1)} {(\frac{β}{2})}^{α} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (s)_{2 n}}{n! (α + 1)_{n}} {(\frac{β}{2})}^{2 n} \\ = & \frac{Γ (s)}{Γ (α + 1)} {(\frac{β}{2})}^{α}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} \frac{s}{2}, \frac{s + 1}{2} \\ α + 1 \end{array}; - β^{2}] \end{array}$

$β$ を $i β$ に置き換えて $i^{- α}$ 倍すると,
$\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} x^{s - α - 1} e^{- x} I_{α} (β x) d x = \frac{Γ (s)}{Γ (α + 1)} {(\frac{β}{2})}^{α}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} \frac{s}{2}, \frac{s + 1}{2} \\ α + 1 \end{array}; β^{2}] \end{array}$
を得る. 特に $β = 1$ として, Gaussの超幾何定理を用いると, 以下を得る.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} x^{s - α - 1} e^{- x} I_{α} (x) d x = \frac{Γ (s) Γ (α - s + \frac{1}{2})}{2^{α} Γ (α - \frac{s}{2} + 1) Γ (α - \frac{s}{2} + \frac{1}{2})} = \frac{Γ (s) Γ (α - s + \frac{1}{2})}{2^{s - α} \sqrt{π} Γ (2 α - s + 1)} \end{array}$

次に, 指数関数がついていないMellin変換を考える.

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} x^{s - α - 1} J_{α} (x) d x & = & \frac{Γ (\frac{s}{2})}{2^{α - s + 1} Γ (α - \frac{s}{2} + 1)} \end{array}$

Ramanujan's master theoremを用いる.
$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} x^{s - α - 1} J_{α} (x) d x & = & \int_{0}^{\infty} x^{s - 1} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- x^{2})^{n}}{2^{2 n + α} n! Γ (α + n + 1)} d x \\ = & \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x^{\frac{s}{2} - 1} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- x)^{n}}{2^{2 n + α} n! Γ (α + n + 1)} \\ = & \frac{Γ (\frac{s}{2})}{2^{α - s + 1} Γ (α - \frac{s}{2} + 1)} \end{array}$