Bessel関数のFourier変換

これを証明するには積分を用いますが、少し準備をします。

準備

まず、$f$の$i$番目の極値から$i+1$番目の極値までの$x$の区間を$D_i$とし、$D_i$内に存在する$f$を$f_i$とする。
こうすると$f_i$は単調となるから、逆関数$f_i^{-1}$が書けますね。

具体例を見ましょう。
例えば$f(x)=\sin{x}$の時はこんな感じです。(図1)

図1

緑色で描いたリボンみたいなのは一応ハサミです。極値で切断するわけです。
この場合$D_i$は、図にもある通り、$\displaystyle[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],[\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi],…$と続きます(もちろん左にも続く)。
この後$\displaystyle f_i(D_i)$が出てきますが、これは$y=f_i(t)$と変数変換したあとの積分区間とします。こんな記法ダメかも知れませんが、ご了承ください。

$\displaystyle\begin{eqnarray} \delta(f(x)) &=& \int_{-∞}^∞\delta(f(t))\delta(x-t)dt \\ &=& \sum_{i}\int_{D_i}\delta(f_i(t))\delta(x-t)dt \\ &=& \sum_{i}\int_{f_i(D_i)}\delta(y)\delta(x-f_i^{-1}(y))\frac{dy}{|f'(f_i^{-1}(y))|} \\ &=& \sum_{i}\frac{\delta(x-f_i^{-1}(0))}{|f'(f_i^{-1}(0))|} \\ &=& \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|} \end{eqnarray}$
$f_i$が単調増加でも単調減少でも成り立つように途中で絶対値を取りました。

初めに、矩形関数に注目します。これは$\displaystyle|\xi|>\frac{1}{2\pi}$では0になりますから、$\displaystyle|\xi|\leq\frac{1}{2\pi}$の範囲だけを考えたらいいですね。

$\displaystyle\begin{eqnarray} \mathcal{F}\left[J_n(x)\right] &=& \int_{-∞}^∞\int_{-\pi}^\pi\exp{\big(ix\sin{\theta}-in\theta\big)}d\theta\exp{(-2\pi ix\xi)}dx \\ &=& \int_{-\pi}^\pi\int_{-∞}^∞\exp{\big(\!-\!2\pi ix\big(\xi-\frac{\sin{\theta}}{2\pi}\big)\big)}dx\exp{(-in\theta)}d\theta \\ &=& \int_{-\pi}^\pi\delta\big(\xi-\frac{\sin{\theta}}{2\pi}\big)\exp{(-in\theta)}d\theta \\ &=& \int_{-\pi}^\pi\sum_{i=1}^2\frac{\delta(\theta-\theta_i)}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{1-(2\pi\xi)^2}}\exp{(-in\theta)}d\theta \\ &=& \frac{2}{\sqrt{1-(2\pi\xi)^2}}\big(\exp{(-in\theta_1)+\exp{(-in\theta_2)}}\big) \\ &=& \frac{2}{\sqrt{1-(2\pi\xi)^2}}\exp{\big(\!-\!\frac{\pi}{2}in\big)\cos{\big(n\big(\frac{\pi}{2}-\theta_1\big)\big)}} \\ &=& \frac{2(-i)^nT_n(2\pi\xi)}{\sqrt{1-(2\pi\xi)^2}} \end{eqnarray}$
ここで、$\displaystyle\theta_1=\sin^{-1}{2\pi\xi},\quad\theta_2=\pi-\theta_1$です。