5.4.弱収束点列とOpialの定理における定理5.4.3で躓いた話

$f_n:H\rightarrow\mathbb{C}$, $y\mapsto\langle x_n, y\rangle$は連続だから、

$\{y \in H; |f_n(y)|\leq m\}$は閉集合である。

大きな流れとしては、$F_m$が有界であることを示し、$F_m$がコンパクトであることを示し、$F_m$が閉集合であることを示します。

• $F_m$が有界であること
  有界であること、つまり、$\delta(F_m)<\infty$であることを示せばよい。

      $z\in F_m$とする。$|\langle x_n, z \rangle| \leq m$である。
$x_n$は任意の$H$の点列なので$z$とすると、$|\langle z, z \rangle| \leq m$である。
よって、$\|z\|\leq m$である。

同様にして、$\|y\| \leq m$である。

$$
\begin{eqnarray}
\delta(F_m) &= & \sup\{d(z,y):z\in F_m,y\in F_m\}\\
            &= & \sup\{\|z-y\|:z\in F_m,y\in F_m\}\\
            &\leq & \sup\{\|z\|+\|y\|:z\in F_m,y\in F_m\}\\
            &\leq &  m+m\\
            &=& 2m \\
            &< & \infty
\end{eqnarray}
$$

よって、$\delta(F_m)$は有界であることがわかった。
    

• $F_m$がコンパクトであること

      $\{y_k\}\subset F_m$とすると、$F_m$が有界なので、$\{y_k\}$は有界である。
$\{y_k\}$は有界なので、収束する部分列$\{y_{k_i}\}$をもつ。
$y_{k_i}\rightarrow c\ \ (i\rightarrow \infty)$とすると、$|\langle x_n, y_{k_i}\rangle|\leq m$より$|\langle x_n, c\rangle|\leq m$となり、$c\in F_m$となる。

よって、$F_m$はコンパクトである。
    

• $F_m$が閉集合であること
  ${y_k}\subset F_m$とする。
  $y_k\rightarrow y$とする。
  $F_m$はコンパクトなので、${y_k}$は$F_m$の要素$u$に収束する部分列${y_{k_i}}$をもつ。

      $$
\begin{eqnarray}
d(y,u)&\leq& d(y,y_{k_i}) + d(y_{k_i},u)
\end{eqnarray}
$$

$i\rightarrow\infty$とすると、$d(y,u)=0$を得る。
$y=u\in F_m$となる。

よって、$F_m$は閉集合である。