5.4.弱収束点列とOpialの定理における定理5.4.3で躓いた話

関数解析,凸解析学,非線形解析学

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非線形・凸解析学入門の5.4.弱収束点列とOpialの定理における定理5.4.3で躓いたので、躓いた点を備忘録として残しておく。数学は非専門なので、間違いがあると思います。間違いがあればご指摘頂ければ幸いです。

定理5.4.3は以下で与えられる。

$H$ をHilbert空間とし、 ${x_{n}}$ を $H$ の点列とする。このとき、 $x_{n} ⇀ x$ ならば ${x_{n}}$ は有界である。

定理5.4.3の証明の中で躓いたのが下記の箇所である。

自然数 $m$ に対して、

$F_{m} := {y \in H : | ⟨ x_{n}, y ⟩ | \leq m, \forall n \in N}$

と定義すると、 $F_{m}$ は閉集合である。

deltaさんから教えて頂いた証明を下記に載せます。
教えて下さりありがとうございます。

$f_{n} : H \to C$ , $y \mapsto ⟨ x_{n}, y ⟩$ は連続だから、

${y \in H; | f_{n} (y) | \leq m}$ は閉集合である。

躓いたくらいなので、私は間違った証明をしてました。
$F_{m}$ が有界とは限らないという反例があるので、以下の証明は間違ってます。
間違ったことを記憶にとどめておくため備忘録として残しておきます...

間違っているところが他にもあれば私の勉強になるのでコメントくれると嬉しいです。

大きな流れとしては、 $F_{m}$ が有界であることを示し、 $F_{m}$ がコンパクトであることを示し、 $F_{m}$ が閉集合であることを示します。

$F_{m}$ が有界であること
有界であること、つまり、 $δ (F_{m}) < \infty$ であることを示せばよい。

      $z\in F_m$とする。$|\langle x_n, z \rangle| \leq m$である。
$x_n$は任意の$H$の点列なので$z$とすると、$|\langle z, z \rangle| \leq m$である。
よって、$\|z\|\leq m$である。

同様にして、$\|y\| \leq m$である。

$$
\begin{eqnarray}
\delta(F_m) &= & \sup\{d(z,y):z\in F_m,y\in F_m\}\\
            &= & \sup\{\|z-y\|:z\in F_m,y\in F_m\}\\
            &\leq & \sup\{\|z\|+\|y\|:z\in F_m,y\in F_m\}\\
            &\leq &  m+m\\
            &=& 2m \\
            &< & \infty
\end{eqnarray}
$$

よって、$\delta(F_m)$は有界であることがわかった。

$F_{m}$ がコンパクトであること

      $\{y_k\}\subset F_m$とすると、$F_m$が有界なので、$\{y_k\}$は有界である。
$\{y_k\}$は有界なので、収束する部分列$\{y_{k_i}\}$をもつ。
$y_{k_i}\rightarrow c\ \ (i\rightarrow \infty)$とすると、$|\langle x_n, y_{k_i}\rangle|\leq m$より$|\langle x_n, c\rangle|\leq m$となり、$c\in F_m$となる。

よって、$F_m$はコンパクトである。

$F_{m}$ が閉集合であること
${y_k}\subset F_m$とする。
$y_{k} \to y$ とする。
$F_{m}$ はコンパクトなので、${y_k} $は$ F_m $の要素$ u $に収束する部分列$ {y_{k_i}}$をもつ。

      $$
\begin{eqnarray}
d(y,u)&\leq& d(y,y_{k_i}) + d(y_{k_i},u)
\end{eqnarray}
$$

$i\rightarrow\infty$とすると、$d(y,u)=0$を得る。
$y=u\in F_m$となる。

よって、$F_m$は閉集合である。