5.4.弱収束点列とOpialの定理における定理5.4.3で躓いた話(その２)

はじめに

非線形・凸解析学入門の5.4.弱収束点列とOpialの定理における定理5.4.3で躓いたので、躓いた点を備忘録として残しておく。数学は非専門なので、間違いがあると思います。間違いがあればご指摘頂ければ幸いです。

任意の$y\in H$に対して$x_n\rightharpoonup x$とする。つまり、$\langle x_n,y\rangle\rightarrow\langle x,y\rangle$である。

このとき、$\{\langle x_n,y\rangle\}$は有界である。

任意の$\epsilon>0$に対して、ある$N\geq 1$が存在して、

$$ n\geq N \implies |\langle x_n,y\rangle -\langle x,y\rangle| < \epsilon $$

$K$を

$$ K = \max\{|\langle x_1,y\rangle|,|\langle x_2,y\rangle|,\cdots,|\langle x_{N-1},y\rangle|,|\langle x,y\rangle|+\epsilon\} $$

のように定めると、

$$ |\langle x_n,y\rangle| \leq K $$

よって、有界である。

[1]

投稿日：2022年8月22日

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