大学数学基礎解説

積分解説7

積分

101

今回はこちらの上の積分を解説します。

Fourier変換

$\hat{f} (ξ) = F [f (x)] (ξ) := \int_{- \infty}^{\infty} f (x) \exp (- 2 π i x ξ) d x$

うちの学校に、いきなり「Fourier変換ってunitaryやねん」と話しかけてくる怖い人がいるらしいです。

Parsevalの定理

$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) \overset{―}{g (x)} d x = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) \overset{―}{\hat{g} (ξ)} d ξ$

証明

$\begin{array}{rcl} LHS . & = & \int_{- \infty}^{\infty} F^{- 1} [f (x)] (ξ) F [\overset{―}{g (x)}] (ξ) d ξ \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (- ξ) \overset{―}{\hat{g} (- ξ)} d ξ \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) \overset{―}{\hat{g} (ξ)} d ξ \end{array}$

左辺が内積そのものですから、Fourier変換はunitaryと言えるんですね。

ここで $g = f$ とすることで
$\int_{- \infty}^{\infty} | f (x) |^{2} d x = \int_{- \infty}^{\infty} | \hat{f} (ξ) |^{2} d ξ$
が直ちに分かります。

後々Gamma関数のFourier変換も必要になるのでここで計算しておきます。

$F [Γ (σ + i x)] (ξ) = 2 π \exp (- \exp (2 π ξ) + 2 π σ ξ)$

証明

$\begin{array}{rcl} F [Γ (σ + i x)] (ξ) & = & \int_{- \infty}^{\infty} Γ (σ + i x) \exp (- 2 π i x ξ) d x \\ = & \int_{Re σ} Γ (s) \exp (- 2 π s ξ) (- i d s) \exp (2 π σ ξ) \\ = & 2 π M^{- 1} [Γ (s)] (\exp (2 π ξ)) \exp (2 π σ ξ) \\ = & 2 π \exp (- \exp (2 π ξ) + 2 π σ ξ) \end{array}$
中身

先程示したものを使って証明していきます。

$\int_{0}^{\infty} Γ (σ - i x) Γ (σ + i x) d x = π \frac{Γ (2 σ)}{2^{2 σ}}$

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} Γ (σ - i x) Γ (σ + i x) d x & = & \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | Γ (σ + i x) |^{2} d x \\ (∵ 定理1) & = & \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} | F [Γ (σ + i x)] (ξ) |^{2} d ξ \\ (∵ 補題2) & = & 2 π^{2} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- 2 \exp (2 π ξ) + 4 π σ ξ) d ξ \\ (2 \exp (2 π ξ) = t) & = & π \int_{0}^{\infty} (\frac{t}{2})^{2 σ} e^{- t} \frac{d t}{t} \\ = & π \frac{Γ (2 σ)}{2^{2 σ}} \end{array}$

積分botさんの下の方の積分は難しいですね。時間があれば挑戦してみようと思いません。
見てくれてありがとうございました。

投稿日：2022年8月25日

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もっち

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