積分解説7
今回は こちら の上の積分を解説します。
$\displaystyle\widehat{f}(\xi)=\mathcal{F}[f(x)](\xi):=\int_{-\infty}^\infty f(x)\exp{(-2\pi ix\xi)}dx$
うちの学校に、いきなり「Fourier変換ってunitaryやねん」と話しかけてくる怖い人がいるらしいです。
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}dx=\int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\xi)\overline{\widehat{g}(\xi)}d\xi$
証明
$\displaystyle\begin{eqnarray}
\mathrm{LHS.}&=&\int_{-\infty}^\infty\mathcal{F}^{-1}[f(x)](\xi)\mathcal{F}[\overline{g(x)}](\xi)d\xi \\
&=&\int_{-\infty}^\infty\widehat{f}(-\xi) \overline{\widehat{g}(-\xi)}d\xi \\
&=&\int_{-\infty}^\infty\widehat{f}(\xi)\overline{\widehat{g}(\xi)}d\xi
\end{eqnarray}$
左辺が内積そのものですから、Fourier変換はunitaryと言えるんですね。
ここで$g=f$とすることで
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2dx=\int_{-\infty}^\infty|\widehat{f}(\xi)|^2d\xi$
が直ちに分かります。
後々Gamma関数のFourier変換も必要になるのでここで計算しておきます。
$\displaystyle\mathcal{F}[\Gamma(\sigma+ix)](\xi)=2\pi\exp{\big(\!-\!\exp{(2\pi\xi)}+2\pi\sigma\xi\big)}$
証明
$\displaystyle\begin{eqnarray}
\mathcal{F}[\Gamma(\sigma+ix)](\xi)&=&\int_{-\infty}^\infty\Gamma(\sigma+ix)\exp{(-2\pi ix\xi)}dx \\
&=&\int_{\Re\sigma}\Gamma(s)\exp{(-2\pi s\xi)}(-ids)\exp{(2\pi\sigma\xi)} \\
&=&2\pi\mathcal{M}^{-1}[\Gamma(s)](\exp{(2\pi\xi)})\exp{(2\pi\sigma\xi)} \\
&=&2\pi\exp{\big(\!-\!\exp{(2\pi\xi)}+2\pi\sigma\xi\big)}
\end{eqnarray}$
中身
先程示したものを使って証明していきます。
$\displaystyle\int_{0}^\infty\Gamma(\sigma-ix)\Gamma(\sigma+ix)dx=\pi\frac{\Gamma(2\sigma)}{2^{2\sigma}}$
$\displaystyle\begin{eqnarray} \int_{0}^\infty\Gamma(\sigma-ix)\Gamma(\sigma+ix)dx&=&\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty |\Gamma(\sigma+ix)|^2dx \\ &=&\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty |\mathcal{F}[\Gamma(\sigma+ix)](\xi)|^2d\xi \tag{$\because$定理1} \\ &=&2\pi^2\int_{-\infty}^\infty\exp{\big(\!-\!2\exp{(2\pi\xi)}+4\pi\sigma\xi\big)}d\xi \tag{$\because$補題2} \\ &=&\pi\int_0^\infty\big(\frac{t}{2}\big)^{2\sigma}e^{-t}\frac{dt}{t} \tag{$\displaystyle2\exp{(2\pi\xi)}=t$} \\ &=&\pi\frac{\Gamma(2\sigma)}{2^{2\sigma}} \end{eqnarray}$
積分botさんの下の方の積分は難しいですね。時間があれば挑戦してみようと思いません。
見てくれてありがとうございました。